Verandering en helling

Waar gaat het over?

Van functies veranderen de functiewaarden (de `y`-waarden) regelmatig als de invoerwaarden (de `x`-waarden) oplopen. Die verandering kun je beschrijven door te bepalen hoeveel de functiewaarden per stap van bijvoorbeeld `1` voor `x` toenemen of afnemen en daarvan een tabel maken. Maar je kunt ook kijken naar de helling van het lijnstuk tussen twee punten `A` en `B`.

Hoe werkt het?

Van het lijnstuk tussen `A(x_A, y_A)` en `B(x_B, y_B)` is de helling het quotiënt van het verschil tussen de `x`-waarden `Delta x = x_B - x_A` en dat van de `y`-waarden `Delta y = y_B - y_A`.
Hierin is `Delta` de Griekse letter D van "differentie" (verschil).
De helling is het differentiequotiënt: `(Delta y)/(Delta x) = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) = (f(x_B) - f(x_A))/(x_B - x_A)`.
De helling is ook de richtingscoëfficiënt van de lijn door `A` en `B`.
En als je punt `B` heel dicht bij `A` brengt, krijg je de helling van de grafiek in punt `A`. Dat heet de afgeleide waarde in punt `A`, de helling van de raaklijn in `A` aan de grafiek van `f`.

Wie en wanneer?

Na de invoering van lettervariabelen door Viète en het assenstelsel en de algebraïsche beschrijving van krommen door Descartes en Fermat in het begin van de 17e eeuw was er voor het eerst echt sprake van het bestuderen van verbanden tussen twee variabelen.
Door Newton en Leibniz raakte dit in een stroomversnelling bij het bestuderen van de veranderingen bij verbanden en vooral bij functies. De terminologie en de notaties van Leibniz worden tegenwoordig nog veel gebruikt.
Daarna is in de 18e en de 19e eeuw door diverse West-Europese wiskundigen de analyse ontwikkeld zoals je die nu op school leert.