Rijen

Waar gaat het over?

Een is een genummerde serie getallen waarin regelmaat zit. De rijnummers zijn meestal `0, 1, 2, 3, ...` Een term van de rij duid je aan door `t(n)` of `t_n` met `n` een natuurlijk getal. Een rij is een functie waarvan de natuurlijke getallen het domein vormen. Je kunt `t_n` zo beschrijven:

• met een directe formule waarmee je vanuit de waarde van `n` direct `t_n` berekent;
• met een recursieformule waarmee je de waarde van `t_n` berekent vanuit `t_(n-1)` of vanuit meerdere voorgangers.

Hoe werkt het?

Bekende soorten rijen zijn:

• de rij `1, 3, 5, 7, ...` is een rekenkundige rij met directe formule `t_n = 1 + 2n` en recursieformule `t_(n+1) = t_n + 2` met `t_0 = 1`.
• de rij `1, 2, 4, 8, ...` is een meetkundige rij met directe formule `t_n = 1 * 2^n` en recursieformule `t_(n+1) = t_n * 2` met `t_0 = 1`.
• de rij `1, 1/2, 1/3, 1/4, ...` is de harmonische rij met directe formule `t_n = 1/n` als `n ge 1`.

De eerste twee rijen zijn divergent, de waarden worden steeds groter en naderen geen limiet.
De derde rij is convergent, de waarden benaderen de grenswaarde `0`.

Wie en wanneer?

De rij van Fibonacci is al bekend vanuit het begin van de 13e eeuw na Chr. In 1202 beschreef Leonardo van Pisa deze in zijn boek "Liber Abaci". Er werd verondersteld dat hij de groei van een konijnenpopulatie vanuit één paartje beschreef. Dit plaatje beschrijft de rij `1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...` die ontstaat door steeds de twee voorgaande termen op te tellen.

Als je elke term deelt door zijn voorganger benader je de Gulden Snede.