Ontbinden in factoren

Waar gaat het over?

Voor het oplossen van vergelijkingen met één variabele bestaan allerlei technieken. Een handige techniek - die alleen in bijzondere gevallen toepasbaar is - is het ontbinden van een vergelijking van de vorm `... = 0` in alleen factoren (soms factorisatie genoemd). De vergelijking kan dan worden gesplitst: de oplossingen zijn te vinden door bij elke afzonderlijke factor te bepalen waar hij op `0` uitkomt, want `a*b=0 hArr a=0 vv b=0`.

Hoe werkt het?

Er zijn twee methoden om een veelterm in factoren te ontbinden:

• Een factor buiten haakjes halen: `a*b + a*c = a*(b+c)`.
• De som-product-methode `x^2 + p*x + q = (x+a)*(x+b)` als `a+b=p` en `a*b=q`.

Je past dit vooral toe bij kwadratische vergelijkingen die je dan eerst in de vorm `...=0` schrijft, dat heet "op `0` herleiden". Maar het kan soms ook bij veeltermen met hogere machten erin. Bij de som-product-methode is het probleem dat de getallen `a` en `b` alleen heel soms gemakkelijk zijn te vinden.

Wie en wanneer?

Nadat François Viète (1540 - 1603) als eerste letters invoerde voor variabelen, kwam het bestuderen van manieren om oplossingen van vergelijkingen te vinden echt op gang. Er werd vooral gezocht naar oplossingen ("wortels") van vergelijkingen van de vorm `a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_0 = 0`, de zogenaamde veeltermvergelijkingen.
Het ontbinden in factoren zoals je dat gebruikt om vergelijkingen handig op te lossen, speelde daar echter geen rol in. Wel is in de abstracte algebra veel werk verricht om te ontdekken of en wanneer factorisatie van een veeltermvergelijking mogelijk is.