abcFormule

Waar gaat het over?

De abc-formule of wortelformule wordt gebruikt bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen oftewel vierkantsvergelijkingen. $3x^2+2x-1=0$ is er een voorbeeld van want $x^2$ komt als hoogste macht voor. De oplossingen (wortels) van de vergelijking zijn nulwaarden van de parabool $y=3x^2+2x-1$.

Hoe werkt het?

Van een vierkantsvergelijking als $a{x}^2+bx+c=0$ met $a$, $b$ en $c$ reëel en $a\ne 0$ zijn de oplossingen $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, waarin $D=b^2-4ac$ de discriminant is.

• Als $D>0$ twee verschillende oplossingen
• Als $D=0$: één oplossing
• Als $D<0$: geen reële oplossingen

In het voorbeeld is $a=3$, $b=2$, $c=-1$ en dus $D=2^2-4\cdot 3\cdot -1=16$.
Dit geeft: $x=-1$ of $x=\frac{1}{3}$.

Wie en wanneer?

De Oude Babyloniërs (1800-1600 v.C.) losten al problemen met vierkantsvergelijkingen op. Hun oplossingsmethoden hebben de vorm van uitgewerkte voorbeelden.
In de eerste helft van de 9e eeuw n.C. schonk in Arabië (het huidige Irak) de wiskundige Al-Khwarizmi uitvoerige aandacht aan het oplossen van vierkantsvergelijkingen. Hij deed dit door middel van meetkunde.
De wortelformule is dus al heel oud. De moderne vorm met de letters a, b en c echter niet, die ontstond pas nadat François Viète (1540 - 1603) voor het eerst letters voor variabelen gebruikte en in de 17e eeuw Descartes het werken variabelen in een assenstelsel had ingevoerd.