Verzamelingen

Waar gaat het over?

Volgens Cantor is een verzameling een geheel van bij elkaar horende verschillende elementen.
Een verzameling wordt aangeduid door accolades rondom de opgesomde elementen te schrijven: {vierkant, cirkel, ruit}. Is zo'n opsomming niet mogelijk dan wordt de verzameling omschreven: `P = {x | x text( is priem)}` is de verzameling van alle priemgetallen. Dat `7` een element is van de verzameling `P`, schrijf je `7 in P`.

Hoe werkt het?

Met verzamelingen kun je veel zaken compact weergeven:

• de verzameling van alle natuurlijke getallen is `NN = {0,1,2,3,4,...}`.
• de verzameling van alle reële getallen is `RR`.
• de doorsnede van de verzamelingen `A` en `B` is `A nn B`.
• de vereniging van de verzamelingen `A` en `B` is `A uu B`.
• `(: text(-)2 , 5 ] = {x in RR | text(-)2 < x <= 5}`
• `(: text(-)2 , rarr :) = {x in RR | x > text(-)2}`
• de lege verzameling, die geen elementen bevat, is `O/`.

Wie en wanneer?

In 1874 introduceerde Georg Cantor het begip verzameling. Daarmee kon hij veel wiskundige begrippen nauwkeuriger omschrijven. Hij toonde aan dat er evenveel gebroken getallen als gehele getallen, maar dat er meer reële getallen dan gehele getallen zijn. Hij introduceerde de termen "aftelbaar" en "overaftelbaar" om verschillende vormen van oneindige aantallen mee aan te duiden.

Verzamelingen worden vaak weergegeven in zgn. Venn-diagrammen zoals dat hiernaast.

Rond 1900 ontdekten o.a. Russel tegenstrijdigheden in de theorie, bijvoorbeeld de Russelparadox. In de huidige formele verzamelingenleer worden die vermeden...