Perfecte getallen

Waar gaat het over?

Perfecte getallen zijn getallen die gelijk zijn aan de som van hun echte delers. Bijvoorbeeld:

• $6=1+2+3$
• $28=1+2+4+7+14$

zijn perfecte getallen. Perfecte (of volmaakte) getallen zijn zeer zeldzaam. In de Oudheid kende men verder alleen nog `496` en `8128` als perfecte getallen.

Hoe werkt het?

Euclides bewees (stelling 36 in boek IX van "De Elementen") dat $2^{k-1}\left(2^k-1\right)$ een perfect getal is als $2^k-1$ een priemgetal is en $k>1$.
Dit levert mogelijke even perfecte getallen op. Er zijn er inmiddels 49 gevonden. (Het bewijs van deze stelling is eenvoudig als je de somformule van een meetkundige rij gebruikt.)
Of er ook oneven perfecte getallen bestaan weet niemand tot op dit moment.

Wie en wanneer?

De eerste vier perfecte getallen waren al in de Oudheid bekend, Euklides formuleerde en bewees de eerste stelling die even perfecte getallen opleverde.
Maar pas de Arabische wiskundige Ibrahim ibn Fallus (1194-1239) ontdekte meer perfecte getallen, hoewel van zijn lijst van 10 alleen de eerste zeven correct bleken.
Later studeerden o.a. Fermat en Mersenne op dit onderwerp, evenals (nog later) Euler.

Priemgetallen van de vorm $2^k-1$ met $k>1$ heten Mersenne-priemgetallen. Ze leveren meteen perfecte getallen op, de zoektocht ernaar gaat onverminderd door.