Extremen en buigpunten

Waar gaat het over?

Een functie zoals `f(x) = x^4 - 2x^2 + 4` heeft een aantal toppen en dalen (rode grafiek).
Die kun je vinden door te kijken waar de helling (de richtingscoëfficiënt van de raaklijn) `0` is. En die helling wordt weer bepaald door de afgeleide `f'` van de functie.
Op plekken waar deze afgeleide maximaal of minimaal is, tref je buigpunten in de grafiek aan.

Hoe werkt het?

Bij `f(x) = x^4 - 2x^2 + 4` hoort als afgeleide `f'(x) = 4x^3 - 4x`.
`f'(x) = 0` oplossen geeft `x=text(-)1 vv x=0 vv x=1`.
In de grafiek zie je dat bij `x=text(-)1` en `x=1` maxima en bij `x=0` een minimum zit. De grootte ervan reken je uit door invullen in `f`. Waar `f'` extremen heeft is de helling maximaal of minimaal. De grafiek van `f` heeft dan een buigpunt wat je kunt berekenen door `f''(x)=0` op te lossen.

Wie en wanneer?

Nadat Newton en Leibniz in de 17e eeuw onafhankelijk van elkaar het werken met functies en hun afgeleiden hadden opgebouwd, werkten verschillende wiskundigen in West-Europa er verder aan. Vooral de Zwitsers Jakob en Johann Bernoulli en de Fransman De l'Hôpital ontwikkelden Leibniz' gedachten verder. Het eerste leerboek over analyse "Analyse des Infiniment Petits" (1696) was van de hand van De l'Hôpital.
Leonhard Euler was een leerling van Johann Bernoulli en waarschijnlijk de meest productieve wiskundige aller tijden. Hij voerde diverse notaties in (denk aan het getal `text(e)`, de notatie voor pi en de notatie `f(x)` voor functies) en deed veel werk op het gebied van de analyse. Hij schreef het belangrijke boek "Introductio in Analysin Infinitorum" (1748).