e

Waar gaat het over?

Van de exponentiële functie `f(x) = g^x` is de afgeleide `f'(x) = c*g^x`.
Als de constante `c` de waarde `1` heeft zijn de exponentiële functie en zijn afgeleide identiek. De waarde van `g` waarvoor dit het geval is heet het getal `text(e)`. In de applet zie je dat `text(e) ~~ 2,7` is. In werkelijkheid is `text(e)` een irrationaal getal.

Hoe werkt het?

De afgeleide van `f(x) = text(e)^x` is `f'(x) = text(e)^x`.
Deze functie is de enige functie die gelijk is aan zijn afgeleide. Om ook andere exponentiële functies te kunnen differentiëren, worden die geschreven als `f(x) = g^x = text(e)^(ln(g)*x)`. Daarbij wordt een logaritme met grondtal `text(e)` gebruikt, de natuurlijke logaritme. Met de kettingregel voor differentiëren geeft dit `f'(x) = text(e)^(ln(g)*x) * ln(g) = g^x * ln(g)`, de afgeleide van een willekeurige exponentiële functie.

Wie en wanneer?

Het getal `text(e)` is is min of meer ontdekt door John Napier omstreeks 1594 via zijn bijzondere definitie van de logaritme, bedoeld om het rekenen met grote getallen te vereenvoudigen.
Maar de grote wiskundige Leonhard Euler was de eerste die dit getal uitgebreid bestudeerde en er de benadering `text(e) = lim_(n rarr oo) (1 + 1/n)^n` voor vond. Hij sprak van het "exponentiële getal", waarvan de letter `text(e)` waarschijnlijk afkomstig is.
Dat `text(e)` een irrationaal getal is, werd in de 18e eeuw bewezen door Johann Heinrich Lambert.