Driehoeksmeting

Waat gaat het over?

Driehoeksmeting of trigonometrie gaat over het berekenen van lengtes en hoeken in willekeurige driehoeken. In rechthoekige driehoeken kan dit direct met sin, cos en/of tan. Bij niet-rechthoekige driehoeken wordt de sinusregel en/of de cosinusregel gebruikt. Die kun je afleiden door met een hoogtelijn een driehoek te verdelen in rechthoekige driehoeken.

Hoe werkt het?

Teken de hoogtelijn uit `C`, de lengte ervan is `b sin(alpha)`, maar ook `a sin(beta)`. Zo krijg je het begin van de sinusregel: `a/(sin(alpha)) = b/(sin(beta)) = c/(sin(gamma))`.

Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je de cosinusregel: `a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(alpha)`. Daar zijn drie varianten van.

Met deze twee regels kun je vanuit drie gegevens alle zijden en hoeken van een willekeurige driehoek berekenen. Dat heet "triangulatie" (driehoeksmeting).

Wie en wanneer?

De Perzische wiskundige Nasir al-Din al-Toesi (1201 - 1274) beschreef als eerste de sinusregel in driehoeken. Hij deed - net als veel andere Perzische wetenschappers in die tijd - veel onderzoek in de astronomie.
En in de vijftiende eeuw beschreef Jamshid al-Kashi (1380 - 1429) voor het eerst de cosinusregel zodanig dat er mee in driehoeken kon worden gerekend.

Beide regels werden veel gebruikt bij triangulatie (driehoeksmeting) in de landmeetkunde. Bij bijvoorbeeld "voorwaartse insnijding" worden op een gegeven afstand van elkaar hoeken naar een punt opgemeten. Daarbij ontstaat een driehoek waarvan één zijde en de hoeken op die zijde bekend zijn en je met de sinusregel de andere twee zijden kunt berekenen.