Differentiaalvergelijkingen

Waar gaat het over?

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin een afgeleide van een functie (en/of ook hogere afgeleiden) voorkomt. De kunst is om vanuit die vergelijking alle functies te vinden die eraan voldoen voor elke waarde van de variabele `x` (of `t`, of...). Dat je daarbij denkt aan integreren ligt wel voor de hand, maar vaak lukt dit niet zomaar.

Hoe werkt het?

Het afkoelen van een glas kokend water verloop zo, dat de afname van de temperatuur `T` (in °C) met de tijd `t` (in minuten) recht evenredig is met het temperatuurverschil met de omgeving. Dit geeft een discreet dynamisch model met differentievergelijking:
`Delta T = T(t + Delta t) - T(t) = text(-)c*(T(t) - 20)*Delta t`
als de omgevingstemperatuur `20`°C is.
Laat je `Delta t rarr 0` gaan, dan krijg je `T'(t) = text(-)c*(T(t) - 20)`.
Deze differentiaalvergelijking beschrijft het bijpassende continue dynamische model. Met behulp van differentialen schrijf je dit als `(text(d)T)/(text(d)t) = text(-)c*(T-20)` en als `1/(T-20) text(d)T = text(-)c text(d)t`.
Omdat nu de variabelen gescheiden zijn kun je dit oplossen door aan beide zijden te integreren.
Maar bij de meeste differentiaalvergelijkingen lukt dat niet en dan heb je andere technieken nodig.

Wie en wanneer?

Door Newton en Leibniz is een begin gemaakt met de differentiaal- en integraalrekening. De terminologie en de notaties van Leibniz worden tegenwoordig nog veel gebruikt.
Al snel werden bij het bestuderen van veranderingsprocessen met name in de natuurkunde formules opgesteld waarin afgeleiden voorkomen. Een bekend voorbeeld is de tweede wet van Newton: `F = m*a` waarin `F` de kracht (in N), `m` de massa van het voorwerp en `a = v'(t) = s''(t)` de versnelling, de afgeleide van de snelheid, de tweede afgeleide van de plaatsfunctie, is.
Is `F` een constante, dan kun je door integreren van de differentiaalvergelijking `m*s''(t) = c` de bekende formules van de eenparig versnelde beweging afleiden.