Dynamische modellen

Waat gaat het over?

Als een bepaalde hoeveelheid met de tijd verandert, kun je er vaak een dynamisch model voor opstellen. Door modelleren ontstaan formules die beschrijven hoe je de grootte van de hoeveelheid kunt berekenen vanuit de verandering naarmate de tijd voortschrijdt. Als dit in vaste tijdstappen `Delta t` gaat, spreek je van een discreet dynamisch model. Het model is recursief.
Verloopt de tijd continu dan heb je een continu dynamisch model.

Hoe werkt het?

Het afkoelen van een glas kokend water verloop zo, dat de afname van de temperatuur `T` (in °C) met de tijd `t` (in minuten) recht evenredig is met het temperatuurverschil met de omgeving. Dit geeft een discreet dynamisch model met differentievergelijking:
`Delta T = T(t + Delta t) - T(t) = text(-)c*(T(t) - 20)*Delta t`
als de omgevingstemperatuur `20`°C is. Bij een gegeven begintemperatuur van `100`°C en in te stellen waarden van `c` kun je bijvoorbeeld in MS-Excel of in IPcoach hiervan grafieken maken, zie dit Excel-model. Door metingen kun je `c` bepalen.
Laat je `Delta t rarr 0` gaan, dan krijg je `T'(t) = text(-)c*(T(t) - 20)`.
Deze differentiaalvergelijking beschrijft het bijpassende continue dynamische model.

Wie en wanneer?

Het werken met dynamische modellen (ook buiten de wiskunde) is pas in de tweede helft van de 20e eeuw echt van de grond gekomen toen de computer zijn intrede deed. Pas toen konden dergelijke modellen worden doorgerekend.
Bij niet-lineaire differentievergelijkingen ontdekte de Amerikaanse wiskundige en meteoroloog Edward Lorentz rond 1950 dat vaak een minieme afwijking zeer afwijkende resultaten opleverden. Dit was het begin van de chaostheorie. Als beeld wordt gebruikt dat de vleugelslag van een vlinder in bijvoorbeeld China de doorslag kan geven tussen mooi weer of een orkaan in Texas. Onder andere Mitchell Feigenbaum heeft veel studie verricht naar chaotische systemen.