Binomium van Newton

Waar gaat het over?

Het binomium van Newton is een manier om `(a + b)^n` uit te werken.
`(a + b)^n = sum_(k=0)^n ((n),(k)) * a^(n-k) * b^k`
met de binomiaalcoëfficiënten `((n),(k)) = (n!)/(k! * (n-k)!)`,
het aantal combinaties van `k` elementen uit `n` elementen.

Hoe werkt het?

Stel je wilt `(a + b)^7` berekenen. Je kunt dan de driehoek van Pascal gebruiken om de gewenste binomiaalcoëfficiënten uit te rekenen. Daarmee vind je
`(a + b)^7 = a^7 + 7a^6 b + 21 a^5 b^2 + 35 a^4 b^3 + 35 a^3 b^4 + 21 a^2 b^5 + 7 ab^5 + b^7`
Dat dit zo werkt komt omdat een term als `a^4 b^3` bestaat uit alle combinaties die je kunt maken met `4` keer een `a` en `3` keer een `b`.

Wie en wanneer?

Het binomium werd in de 17e eeuw Isaac Newton (1643 - 1727), een Engelse natuur- en wiskundige, bedacht.
Hij had het nodig voor zijn differentiaalrekening, namelijk om de afgeleide te bepalen van de machtsfunctie `f(x) = x^n` met `n` een natuurlijk getal. Het differentiaalquotiënt

`f'(x) = lim_(h rarr 0) ((x+h)^n - x^n)/h`

dat daarbij moet worden uitgerekend bevat de uitdrukking `(x + h)^n` en daarin moest Newton de haakjes wegwerken.