Regel van Bayes

Waar gaat het over?

De stelling van Bayes gaat over het berekenen van een voorwaardelijke kans. Neem bijvoorbeeld een ziekte die `1` op de `1000` mensen heeft volgens bestaand bevolkingsonderzoek. Om van iemand te weten te komen of hij/zij de ziekte heeft bestaat een test. Maar die test is niet `100`% betrouwbaar: van mensen die de ziekte niet hebben krijgt `5`% toch een positieve uitslag en van mensen die ziek zijn krijgt `2`% toch een negatieve uitslag. Je wilt weten hoeveel procent van de mensen die positief zijn getest ook echt ziek is.

Hoe werkt het?

Bekijk de kansboom die bij het geschetste probleem hoort.
Je wilt de kans berekenen dat iemand die positief is getest ook ziek is: `text(P)(Z|+)`.
Die kans is volgens de regel van Bayes: `text(P)(Z|+) = (0,98*0,001)/(0,98*0,001 + 0,05*0,999) ~~ 0,019`.
Dat is nog geen `2`% (als ook alle gezonde mensen getest zouden worden).

Wie en wanneer?

Het theorema is weliswaar genoemd naar Thomas Bayes, maar vrijwel zeker niet door hem geformuleerd, maar door Pierre-Simon Laplace, die inspiratie opdeed bij een postuum gepubliceerd artikel van Bayes uit 1763. Het komt voor in de "Théorie analytique des probabilités" van Laplace uit 1812 en wordt ook wel omkeerformule genoemd, omdat het de "omgekeerde" voorwaardelijke kans berekent.

Een redenering zoals die hiernaast werd in 2009 met succes gebruikt in de zaak Lucia de B. Daarin werd een verpleegkundige van moord beschuldigd tijdens het uitoefenen van haar werk. Redeneren volgens de regel van Bayes leidde tot vrijspraak.
Omdat bij het toepassen van Bayes vaak aannames worden gedaan, blijft het gebruik van deze stelling omstreden.