Kansrekenen

Waar gaat het over?

In het vaasmodel doe je aselecte trekkingen van gekleurde balletjes uit een vaas. Bij trekking met terugleggen zijn de kansen elke trekking hetzelfde: de kans op een rood en een groen balletje is hier dan `text(P)(R text( en ) G) = 3/5 * 2/5 + 2/5 * 3/5 = 12/25`.
Bij trekking zonder terugleggen zijn de kansen elke trekking niet hetzelfde: de kans op een rood en een groen balletje is nu `text(P)(R text( en ) G) = 3/5 * 2/4 + 2/5 * 3/4 = 12/20`.
De tweede kans is een voorwaardelijke kans, b.v. `text(P)(text(eerste )R | text(tweede )G) = 2/4`.

Hoe werkt het?

Het bekende verjaardagprobleem luidt: "Hoe groot is de kans dat in een groep van $x$ personen minstens twee op dezelfde dag jarig zijn?"
Die kans blijkt nog verbluffend groot te zijn als $x$ rond de $23$ ligt. Bij $x=23$ is die kans zelfs meer dan $\mathrm{0,5}$, namelijk $1-\frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \frac{362}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}$.

Ook het bekende Drie deuren probleem kun je met kansrekening oplossen.

Wie en wanneer?

Pas in de voorgaande eeuw (rond 1933) is een nette wiskundige theorie over het rekenen met kansen geformuleerd, o.a. door de Russiche wiskundige Kolmogorov. Daarin werd vastgelegd dat de kans op een gebeurtenis `G` het getal `text(P)(G)` is dat voldoet aan axioma's zoals
`0 le text(P)(G) le 1`
`text(P)(text(niet-)G) = 1 - text(P)(G)`
`text(P)(G_1 text( of ) G_2) = text(P)(G_1) + text(P)(G_2)` als beide gebeurtenissen elkaar wederzijds uitsluiten
`text(P)(G_1 text( en ) G_2) = text(P)(G_1) * text(P)(G_2 | G_1)`
`text(P)(text(niet-)G)` is de complementaire kans, de kans op het niet optreden van gebeurtenis `G` en ` text(P)(G_2 | G_1)` is de voorwaardelijke kans dat `G_1` optreed als `G_2` al eerder is opgetreden.