Faculteit

Waar gaat het over?

Als je een oplopend rijtje natuurlijke getallen vermenigvuldigd, dan werk je met faculteit:
`1*2*3*4*5*...*n = n!`, uitgesproken als `n`-faculteit.
En bijvoorbeeld `5*6*7 = (7!)/(4!)`.
Een nuttige afspraak is daarbij `0! = 1`.

Hoe werkt het?

Het begrip faculteit wordt vooral gebruikt bij mogelijkheden tellen in de kansrekening. Je gebruikt dan een telsysteem als:

• Als je `4` elementen kiest uit `10` verschillende elementen en de volgorde is belangrijk, dan heb je `10*9*8*7 = (10!)/(6!)` mogelijkheden. Dat is het aantal permutaties van `4` uit `10`.
• Als je `4` elementen kiest uit `10` verschillende elementen en de volgorde is niet belangrijk, dan heb je `(10*9*8*7)/(4*3*2*1) = (10!)/(6!*4!)` mogelijkheden. Dat is het aantal combinaties van `4` uit `10`.

Je gebruikt dit bij het berekenen van kansen en het werken met sommige kansverdelingen.

Wie en wanneer?

het werken met permutaties en combinaties werd al omstreeks 850 na Chr. beschreven door de Indische wiskundige Mahavira op grond van ontdekkingen van jaïnistische geleerden (die veel belang stelden in het werken met getallen) in de eeuwen daarvoor.
De notatie `n!` werd ingevoerd door Christian Kramp (1760-1826) in 1808 in zijn "Elémens d'arithmétique universelle".
De waarden voor `n!` worden al snel heel groot, rekenmachines kunnen vaak `70!` al niet meer benaderen, laat staan uitrekenen. Naar de Schotse wiskundige James Stirling (1692 - 1770) is de benadering van `n! ~~ sqrt(2pi n) (n/text(e))^n` genoemd. Hij vond deze benadering al voordat de notatie werd bedacht.