Continuïteit

Waar gaat het over?

Continu betekent ononderbroken. Een functie `f(x)` is continu als overal kleine veranderingen van `x` ook kleine veranderingen van `f(x)` opleveren. Functies met sprongen in de grafiek of perforaties (gaten) zijn in die buurt niet continu.

Hoe werkt het?

Bekijk bijvoorbeeld de grafiek van functie `f(x) = (x^2-9)/(x-3)`.
Die lijkt op een rechte lijn. Maar die lijn heeft een gaatje bij `x=3`. Dat komt omdat:
`lim_(x uarr 3) (x^2-9)/(x-3) = lim_(x uarr 3) ((x-3)(x+3))/(x-3) = lim_(x uarr 3) x+3 = 6` en hetzelfde voor `x darr 3`.
De grafiek lijkt op die van `y=x+3`, behalve als `x=3`, dat getal kun je niet invullen in `f`.

Er zijn ook functies met sprongen, bijvoorbeeld `g(x) = (|x|)/x = { (1, text( voor), x gt 0), ( text(-)1, text( voor), x lt 0):}`.
Functie `g` maakt bij `x=0` duidelijk een sprong.

Wie en wanneer?

De analyse kreeg in de tweede helft van de 19e eeuw door Karl Weierstrass een meer zorgvuldige opbouw, met name van het limietbegrip en daarmee samenhangend het begrip continue functie. Zijn `epsilon, delta` definitie van continu luidt: `f(x)` is continu in `x=x_0` als bij willekeurige `epsilon gt 0` een `delta gt 0` bestaat waarvoor geldt: als `|x - x_0| lt delta` dan is `|f(x)-f(x_0)| le epsilon`.
Vlak daarna ontdekte Bernard Riemann functies die nergens continu zijn, zoals de functie `f(x)` die de waarde `1` heeft als `x` een rationaal getal is, en de waarde `0` als `x` een irrationaal getal is.