Bewijzen

Waar gaat het over?

Als je zeker wilt zijn dat een bepaalde bewering waar is, heb je een bewijs nodig: een redenering die iedereen overtuigt. Neem als voorbeeld de stelling van Pythagoras: "de vierkanten op de benen van een rechthoekige driehoek hebben samen dezelfde oppervlakte als het vierkant op de hypotenusa". Hiervoor bestaat een groot aantal bewijzen. Dit bewijs zonder tekst is gebaseerd op het feit dat de oppervlakte van een parallellogram niet verandert zolang basis en hoogte niet veranderen. Maar dat moet je dan wel eerst hebben bewezen. In feite kun je alleen bewijzen leveren binnen een wiskundige theorie die bestaat uit een (klein) aantal aannames (axioma's) door van daaruit logische redeneringen op te zetten.

Hoe werkt het?

Door proberen ontstaat een vermoeden, zoals op het gebied van getallen het beroemde vermoeden van Goldbach: "elk even getal is de som van twee priemgetallen". Pas als dit vermoeden kan worden afgeleid uit de axioma's van de getallentheorie en uit stellingen die hieruit zijn afgeleid, is het bewijs geleverd. Tot op heden is dat nog niet gelukt...

Wie en wanneer?

Ongeveer 2200 jaar geleden schreef Euklides een eerste wiskundige theorie in zijn beroemde boek "De Elementen". Hij zette vanuit een klein aantal aannames (axioma's, basisbegrippen en manieren van redeneren) de complete wiskunde van de Oude Grieken op.

Pas in de negentiende eeuw bleek zijn theorie niet waterdicht te zijn. De Duitse wiskundige David Hilbert ontwierp een meer formele opzet. En er ontstonden ook voor andere delen van de wiskunde axiomastelsels en men probeerde de hele wiskunde in één formeel stelsel onder te brengen. Gödel toonde in 1931 met zijn onvolledigheidsstelling de beperkingen van dit idee aan.