Zelf probleemoplossen

Hier vind je een aantal probleemstellingen.
Ze zijn bedoeld om je aan te zetten tot het bedenken van een model en/of het toepassen van het probleemaanpak-ABC. (Bij zuiver wiskundige problemen is modelleren niet meer nodig, je zit dan al in het wiskundig model.)
Belangrijk is vooral dat je een probleem ook echt moet willen zien en oplossen; de strategie zoals hiernaast is te zien werkt niet...

Touw om de aarde (meetkunde)
Tunnel door de aarde (meetkunde)
Bioscoop (vergelijkingen)
Hekkenprobleem (vergelijkingen)
Hoeveel diagonalen? (tellen)
Hoeveel vierkanten? (tellen)
Lootjes trekken (kansen)
Dadels eten (vergelijkingen)
Benzine of diesel? (vergelijkingen)
Vliegen van Amsterdam naar Moskou v.v. (analyse)
Reisbureau (analyse)
Minimale oppervlakte (analyse)
Atletiekbaan (meetkunde en analyse)
Kijkafstand (meetkunde en analyse)
File-probleem (analyse)

Vaak worden bij het oplossen van een probleem zogenaamde dynamische modellen gebruikt.
Daarbij kun je het rekenblad Excel goed inzetten.

Dynamische modellen met XL

Bekijk ook de sangaku's op deze site via

Kaart met sangaku's

Een touw om de aarde

De aarde is ongeveer een bol. De omtrek van de aarde is ongeveer 40.000 km. Je zou om de evenaar van die bol een touw strak kunnen spannen. Dat touw zou dan precies een cirkel vormen (als de aarde een zuivere bol zou zijn).
Als je nu een touw neemt dat precies één meter langer is, dan kun je dit op stokjes op het aardoppervlak bevestigen en opnieuw een cirkel (ruim) om de evenaar maken.
Heb je daarvoor lange stokjes nodig? Van 1 mm lengte of van 1 dm lengte of van 1 m lengte? Of veel langer of korter? Kan er wel een vlieg onderdoor? Reken dat eens na.

Een tunnel van Groningen naar Maastricht

De aarde is ongeveer een bol. De omtrek van de aarde is ongeveer 40.000 km. Als je van Groningen naar Maastricht een kaarsrechte tunnel met een lengte van 300 km wilt graven, dan ligt die tunnel niet overal even diep onder de grond.

Maak een tekening waaruit blijkt dat die tunnel niet overal even diep onder de grond ligt.
Bereken hoeveel het diepste punt van de tunnel onder de grond zit.

Bioscoop

Een bioscoop heeft twee zalen met evenveel stoelen. De éne zaal (zaal I) heeft evenveel stoelen in een rij als er rijen zijn. De andere zaal (zaal II) heeft 12 rijen meer, maar elke rij heeft 10 stoelen minder dan in zaal I. Hoeveel zitplaatsen heeft elke zaal?

Lootjes trekken met Sinterklaas

Er is met Sinterklaas natuurlijk maar één ding leuk:
Onderling lootjes trekken, zodat je tenminste één keer per jaar een medegezinslid kunt trakteren op een surprise die hij of zij in zijn stoutste dromen niet voor mogelijk had gehouden.

In een bepaald gezin bestaande uit 2 volwassenen en 2 kinderen is dit al een jarenlange traditie. Elk jaar worden er vier precies gelijke briefjes, met op elk briefje de naam van één gezinslid, op precies dezelfde wijze opgevouwen. Deze lootjes zijn daarom niet van elkaar te onderscheiden. Ze worden bovendien door een zeer betrouwbare buurman in zijn hoge hoed door elkaar geschud, waarop ieder gezinslid met gesloten ogen (en onstuimig kloppend hart) precies één lootje uit de hoed trekt.

Hoe groot is de kans dat er opnieuw moet worden geloot omdat een gezinslid zijn of haar eigen naam aantreft op het briefje dat hij of zij heeft bemachtigd? Geef een uitgebreide toelichting op het antwoord.

Hekkenprobleem

Boer Harmsen houdt schapen. Die schapen heeft hij soms in een weiland, soms op de heide, maar af en toe ook in de schaapskooi. Hij heeft van de éne naar de andere plaats paden gemaakt. Die paden hebben alle drie een verschillende breedte en komen op een bepaalde plaats bij elkaar, zoals je ziet.

Harmsen heeft bedacht dat het handig is om steeds één van die paden te kunnen afsluiten, dan kunnen zijn schapen gemakkelijk van de éne plaats naar de andere worden gebracht. Hij plaatst daarom na enig nadenken drie hekken op dit kruispunt, één bij `A`, één bij `B` en één bij `C`. Dat doet hij zo, dat hij met twee van die hekken steeds precies n van de wegen kan afsluiten.

Om die hekken te kunnen maken moet hij weten hoe breed elk hek moet worden. Bereken voor boer Harmsen de breedte van elk van die hekken in cm nauwkeurig.

Hoeveel diagonalen?

Hoeveel diagonalen heeft een `100`-hoek? En een `n`-hoek?

Hoeveel vierkanten?

Neem een stuk roosterpapier van `10` hokjes bij `10` hokjes. Met de roosterlijnen kun je vierkanten maken waarvan de hoekpunten precies roosterpunten zijn. Hoeveel kun je er maken?

Dadels eten

Hier een karakteristieke Arabische puzzel uit de begintijd van de algebra:

Drie vrienden, A, B en C, gebruiken de maaltijd in een herberg. Ze bestellen na een overvloedig maal dadels als dessert. Voor het dessert komt, vallen ze door overdadig eten en drinken in hun uiterst comfortabele stoelen in slaap. Na een tijdje wordt A wakker en ziet de schaal met dadels staan. Hij nuttigt zijn `1//3` deel en slaapt weer in. Wat later wordt B wakker. Ook hij ziet de schaal met dadels, eet `1//3` deel van de dadels die nog in de schaal liggen op en valt in slaap. Als C tenslotte wakker wordt doet hij hetzelfde en dut weer in. Even later wordt A opnieuw wakker en ziet dat er nog acht dadels op de schaal over zijn gebleven. A begrijpt het probleem en wekt B en C. Samen verdelen ze nu de rest eerlijk over B en C. Hoeveel dadels waren er in totaal voor het dessert?

Benzine of diesel?

Het rijden in een auto kost geld. Je maakt kosten vanwege de brandstof, maar ook betaal je wegenbelasting, verzekering, en dergelijke. En tenslotte moet je de auto kopen en ook dat kost geld. Ga na wat voordeliger is: rijden op benzine of rijden op dieselolie.

Je gaat uit van twee even dure auto’s, dus met aanschafkosten houd je voor het vergelijken van beide geen rekening. Hier heb je de gegevens om mee te werken:

Auto op benzine:

Benzine kost € 1,32 per L (liter)
Je rijdt gemiddeld 1 op 12, dat is 12 km op 1L benzine
De jaarlijkse kosten (wegenbelasting, garage, verzekering, etc.) zijn ongeveer € 2400,00

Auto op diesel:

Dieselolie kost € 1,08 per L (liter)
Je rijdt gemiddeld 1 op 18, dat is 18 km op 1L diesel
De jaarlijkse kosten (wegenbelasting, garage, verzekering, etc.) zijn ongeveer € 3800,00

(Maar het is natuurlijk leuker om met actuele gegevens te werken!)

Vliegen van Amsterdam naar Moskou v.v.

Een vliegtuig vliegt van Amsterdam naar Moskou met een gemiddelde snelheid van `800` km/uur. Op de terugweg heeft het de wind tegen en haalt het nog maar `600` km/uur.

Hoe groot was de gemiddelde snelheid over de gehele tocht gerekend?
Leid een formule af voor die gemiddelde snelheid als de gemiddelde snelheid op de heenreis `x` km/uur en op de terugreis `y` km/uur was.

Reisbureau

Een groep van 100 personen wil een reis maken naar een tentoonstelling in New York. Er wordt een reisbureau ingeschakeld om dat te organiseren. Dat reisbureau chartert een vliegtuig dat maximaal 150 personen kan vervoeren. De reis moet dan € 1000,= p.p. kosten. Het reisbureau geeft bij die prijsopgave aan, dat de reis p.p. goedkoper wordt als ook een deel van overblijvende plaatsen in het vliegtuig kan worden bezet: elke extra deelnemer aan de reis levert een korting op van € 7,= p.p. voor alle passagiers.

Hoeveel reizigers zal de groep erbij proberen te krijgen? Is dat gunstig voor het reisbureau?
Bij hoeveel extra passagiers is de totale opbrengst voor het reisbureau zo groot mogelijk?

Atletiekbaan

De gemeente laat een nieuw atletiekveld aanleggen: een rechthoekig binnenterrein met daar omheen de atletiekbaan bestaande uit twee rechte stukken en twee halve cirkels, zie figuur. Een atletiekbaan is `400` m lang.

Hoe groot kan de oppervlakte van het binnenterrein maximaal worden?

Minimale oppervlakte

Een ondernemer wil een zuiver rechthoekige fabriekshal bouwen met een vloeroppervlakte van `1000` m². Hij koopt daartoe een eveneens zuiver rechthoekige lap grond waarop die hal moet komen te staan. Daarbij moet hij rekening houden met groenstroken die hij om zijn fabriekshal moet aanbrengen van de overheid. Aan de voorkant moet die groenstrook `20` m breed zijn, aan de overige zijden moeten de groenstroken steeds `10` m breed zijn.

De ondernemer wil nu een zo klein mogelijk terrein kopen dat aan al de genoemde voorwaarden voldoet. Welke afmetingen moet dit terrein dan hebben?

Kijkafstand

Door de kromming van het aardoppervlak kun je zelfs als je in een compleet vlakke woestijn op een hoge toren staat niet onbeperkt ver kijken. Laat zien dat de kijkafstand `a` afhangt van de hoogte `h` van je ogen boven het aardoppervlak volgens de formule

`a ~~ 3572 sqrt(h)`

(Ga er van uit dat de aarde een zuivere bol is met een straal van `6378` km.)

File-probleem

Als in een min of meer constante stroom auto’s met ongeveer dezelfde snelheid wordt geremd, kan er file ontstaan. Stel je nu voor dat door werkzaamheden een rijstrook op de snelweg is afgesloten. Bij het invoegen van auto’s naar één rijstrook moet vaak onhandig worden gemanoevreerd, zodat het verkeer moet afremmen of zelfs stil moet staan. Dit is het moment dat een file ontstaat. Zo’n file is niet nodig als iedereen tijdig de juiste doorstroomsnelheid kiest. Daarbij gaat het erom dat zoveel mogelijk auto’s per tijdseenheid de wegversmalling passeren.
Stel een model op voor dit fileprobleem.
Bereken de beste doorstroomsnelheid v in km/h.

Maak gebruik van de volgende aannames (geef ook commentaar op deze aannames):

Alle auto’s passeren de wegversmalling met dezelfde constante snelheid `v`.
Alle auto’s hebben dezelfde lengte `L`.
Alle auto’hebben een onderlinge afstand `R` in m die gelijk is aan de remweg.
De remweg van alle auto’s is gelijk. Hierbij wordt de volgende vuistregel gehanteerd: "de remweg van een personenauto in meters vind je door de snelheid (in km/h) te delen door `10`, de uitkomst te kwadrateren en het resultaat met `0,75` te vermenigvuldigen".

Probeer je model te verbeteren door de aannames aan te passen.