Wiles

De geschiedenis van de laatste stelling van Fermat en Diophantische vergelijkingen

De stelling van Fermat heeft een roemrucht verleden. Pierre de Fermat (1601-1665) was een Franse magistraat die gefascineerd was door wiskunde en vooral door getaltheorie. De geschiedenis gaat terug op een opmerking die Fermat in de marge schreef van zijn exemplaar van het boek van Diophantus (3e eeuw) over getaltheorie. Diophantus bespreekt daar het "splitsen" van een kwadraat (van een geheel getal) als een som van twee kwadraten: zo is bijvoorbeeld ${13}^2={12}^2+5^2$.
Fermat schrijft dan dat hij een prachtig bewijs heeft gevonden voor het feit dat derdemachten niet in twee derdemachten, vierdemachten niet in twee vierdemachten, enzovoort, te splitsen zijn, maar dat de marge helaas te klein is om het bewijs in op te schrijven. Die kanttekening heeft heel wat mensen gestimuleerd het vermeende bewijs te vinden. In de loop der tijden zijn heel wat speciale gevallen gekraakt (Leonhard Euler (1707-1783) kraakte bijvoorbeeld het geval van de derdemachten in 1753), maar het algemene geval moest wachten tot de jaren negentig van de 20e eeuw. Het is onwaarschijnlijk dat Fermat indertijd inderdaad een bewijs gevonden heeft. De technieken die Wiles gebruikt heeft, waren in de 17e eeuw in ieder geval nog absoluut niet voorhanden.

 

Diophantische vergelijkingen

Bij een diophantische vergelijking is men op zoek naar geheeltallige oplossingen van een of meerdere (veelterm)vergelijkingen, doorgaans in meerdere onbekenden. Zo hoort bijvoorbeeld de vraag hoe je het getal $30$ kunt schrijven als het product van twee gehele getallen bij de diophantische vergelijking $xy=30$. De geheeltallige oplossingen van de vergelijking $x^2+y^2=z^2$ zijn de zogenaamde Pythagoreïsche drietallen, zoals bijvoorbeeld $x=3$, $y=4$ en $z=5$. Diophantische vergelijkingen kunnen er bedrieglijk eenvoudig uit zien.
Zo zo'n vergelijking al is op te lossen, vereist het vaak zeer geavanceerde wiskunde op het grensvlak van getaltheorie, algebra, meetkunde en analyse.

 

 

 

Over Andrew Wiles

Wiles werd geboren in Cambridge (Engeland) en volgde een traditioneel Engels pad: hij haalde zijn Bachelor's graad in Oxford en zijn doctorsgraad in Cambridge. Wiles' voornaamste interesse, al vanaf jonge leeftijd, is getaltheorie, de tak van de wiskunde die zich richt op het doorgronden van de structuur van getallen. Inmiddels is dat een vergevorderd gebied waarin algebra, meetkunde en analyse (de wiskunde van het differentiëren en integreren) niet meer weg te denken zijn. Enerzijds is het een gebied met geweldige puur wiskundige uitdagingen, anderzijds een gebied met fraaie toepassingen, zoals het RSA cryptosysteem dat gebruikt wordt bij de beveiliging van dataverkeer op het web. Wiles werkt voornamelijk aan de puur wiskundige kant. Wiles vervolgde zijn loopbaan aan diverse universiteiten en onderzoeksinstituten in en buiten Engeland. Momenteel is hij Eugene Higgins Professor of Mathematics aan Princeton University in de Verenigde Staten.

» Simon Singh over de zoektocht naar het bewijs (Engelstalig, 53 min.)

 

 

 

---

Math4all - auteur: Hans Sterk