Hoe laat je leerlingen tot het inzicht komen dat de oppervlakteformule van een driehoek `1/2*text(basis)*text(hoogte)` is?
Er zijn verschillende manieren om met je leerlingen tot de oppervlakte formule te komen. Welke kies je? En vooral: waarom?
Een paar voor de hand liggende en daarom veel gebruikte manieren van uitleggen zijn deze:
Voor elk van deze aanpakken is, in het algemeen, wel wat te zeggen. Ik loop ze even langs.
Achterliggende gedachte: waarom moeilijk als het gemakkelijk kan? Een reden kan zijn dat een bepaalde aanpak zo mooi is of zo generiek dat je die je leerlingen niet wilt onthouden. Maar meestal zul je voor de gemakkelijkste uitleg kiezen omdat je daarmee meer leerlingen zult bereiken.
De onderliggende didactische veronderstelling is dat als je een regel (zoals de oppervlakteformule) op de een of andere manier aannemelijke maakt of bewijst, je leerlingen er dan van doordrongen zullen zijn dat de regel juist is.
Achterliggende gedachte: dingen die je zelf ontdekte onthoud je gemakkelijker dan dingen die je alleen maar werden verteld of die je las. En: voor veel leerlingen geldt: dingen die je op de een of andere manier tactiel, ‘met je handen’, door het te doen, ontdekte, die onthoud je gemakkelijker. Door het in al knippend en plakkend te zien wordt je inzicht dieper. Dat geldt niet alleen voor typisch praktische dingen, zoals het strikken van je schoenveters, maar ook voor wiskundige wetmatigheden zoals de oppervlakteformule van een driehoek.
Achterliggende gedachte: soms helpt het goed om de wiskundige historie van een begrip erbij te halen. Aan breuken, om een voorbeeld te noemen, was er in de geschiedenis van de mensheid veel eerder behoefte dan aan negatieve getallen. Breuken waren dan ook veel eerder gemeengoed dan negatieve getallen – en dat zegt iets over de complexiteit van de onderlinge begrippen. Heel jonge kinderen begrijpen verdelen (en zeker: eerlijk verdelen) allang terwijl ze nog geen benul hebben van negatieve getallen, misschien zelfs: geen benul van getallen (maar dus al wel van eerlijk).
Anderzijds: niet alle begrippen die in de geschiedenis van de wiskunde pas relatief laat helder werden zijn complexer dan eerder ontdekte begrippen. Denk aan het concept 'nul' als getal dat van veel recenter datum is dan het concept van irrationale getallen.
Achterliggende gedachte: veel dingen hebben we, noodgedwongen, geleerd, gewoon doordat het ons als een waarheid verteld werd, zonder dat we dat zelf eerst konden ontdekken, of konden bewijzen of zelfs maar doorgronden.
Denk aan evidente voorbeelden als: de aarde draait om de zon (en niet andersom), een spiegel verwisselt wel links en rechts maar niet boven en onder, of, om nog een voorbeeld te geven, `pi` is een irrationaal getal. Deze voorbeelden zijn elk zo lastig te beredeneren dat niet veel mensen de bewijzen begrijpen, laat staan die zelf kunnen geven. En dan heb ik het niet over berucht complexe zaken als de relativiteitstheorie of het begrip oneindig.
Dus: soms moet je gewoon aannemen dat iets is zoals het is en accepteren dat er misschien nog wel een moment komt dat je het kunt begrijpen. En dus, dat je moet vertrouwen op de wetenschap (of een woordvoerder daarvan) dat het klopt.
En dat geldt ook op school. Soms maak je als docent iets voor je leerlingen niet meer dan enigszins aannemelijk. En soms heb je geen tijd om iedereen tot het begrip te laten komen op een andere manier en poneer je het eenvoudigweg en laat je, zo mogelijk, met wat voorbeelden controleren dat het geponeerde klopt.
Terug naar het aanvankelijke onderwerp: "Hoe zorg je ervoor dat leerlingen de formule `1/2*text(basis)*text(hoogte)` voor de oppervlakte van een driehoek leren?"
Of is `(text(basis) * text(hoogte))/2` eigenlijk een betere formule?
De tweede formule laat beter zien dat je eerst basis met hoogte moet vermenigvuldigen en daarna door `2` deelt. Dat is de formule die hoort bij het begrip dat de oppervlakte van een driehoek gelijk is aan die van de omgeschreven rechthoek en daarvan de helft. De eerste formule is, tja, meer een formule die zegt hoe je het uitrekent. Want wat heeft, begripsmatig, de halve basis met de oppervlakte te maken? Ik zou dus kiezen voor de tweede formule, ook al is die typografisch minder handig.
Teken de rode rechthoek om de driehoek (kan dat altijd?) en zie dat de schuine zijden van de driehoek de diagonalen zijn van twee rechthoeken. Die delen de rechthoeken elk in twee gelijke stukken (waarom eigenlijk?) Dus de oppervlakte van de rode rechthoek (`text(basis)*text(hoogte)`) is twee keer zo groot als die van de blauwe driehoek. Die heeft dus als oppervlakte `(text(basis) * text(hoogte))/2`.
Dan moet je wel nog nagaan of het zelfde verhaal bij deze stompe driehoek ook stand houdt. Dat is een stuk lastiger in te zien. Dat zou een interessante onderzoeksvraag zijn voor je leerlingen. Geldt `(text(basis) * text(hoogte))/2` hier ook?
"Moderne wiskunde" gebruikt een andere aanpak. Daar wordt eerst de oppervlakteformule van een parallellogram bepaald. Snij een punt van het parallellogram af en pas dat stuk aan de andere kant aan (waarom past dat precies?). Dit levert een rechthoek op (waarom eigenlijk?) waarvan we de oppervlakte gemakkelijk kunnen berekenen.
Je hebt dan nog wel het concept hoogte van het parallellogram nodig. Bijgevolg krijg je de formule van de oppervlakte van een driehoek bijna voor niets: een driehoek ontstaat je als je in een parallellogram een diagonaal tekent. En die heeft de helft van de oppervlakte van het parallellogram (waarom eigenlijk?).
Moderne wiskunde laat overigens na om na te gaan of je op deze manier de oppervlakte van elke driehoek kunt bepalen, anders gezegd, of elke driehoek altijd een half parallellogram is. En ook gaat Moderne wiskunde er impliciet vanuit dat de oppervlakte door het knippen, schuiven en draaien niet verandert.
Begin met een tekening van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van `10` en `7` cm. Vraag naar de oppervlakte. Bespreek het concept hoogte van een driehoek. Laat alle leerlingen op ruitjespapier een niet-rechthoekige driehoek tekenen met een basis van `10` cm en een hoogte van `7`. Zorg ervoor dat er veel verschillende driehoeken getekend worden. Laat de oppervlakte bepalen. Laat hen tot een vermoeden komen van een formule. Teken tenslotte een stompe driehoek met basis `10` cm en hoogte `7` cm en bespreek of de gevonden formule hier ook geldt. En laat zien waarom dat inderdaad zo is.
Hoewel het niet met zekerheid is te zeggen is de historische formule vermoedelijk ontstaan via de hiervoor genoemde pragmatische aanpak.
Ik zou er niet voor pleiten om de oppervlakte formule eenvoudigweg te poneren, maar ik zie ook niet zo veel tegenargumenten. Veel oudere leerlingen die de formule wel kennen hebben geen idee (meer) waar die vandaan komt. Vergelijk het met het feit dat veel mensen wel weten dat `cos(x)` de afgeleide functie is van `sin(x)` zonder nog een idee te hebben waarom dat zo is.
Het reconstrueren van het waarom is een goede wiskundige activiteit. Dus: er is een algemene formule waarmee je de oppervlakte van een driehoek kunt uitrekenen: `(text(basis) * text(hoogte))/2`. Kunnen we begrijpen waarom die formule zo is?
Math4all Auteur: Jan Speelpenning
Links naar andere sites over dit onderwerp:
Ik wil mij aanmelden voor:
