Talstelsels

Het binaire stelsel

Toen het tientallig stelsel in West-Europa na 1600 redelijk was geaccepteerd, bedacht Leibniz het binaire positiestelsel. Gewoon, omdat het een leuk bedenksel was...
In het binaire stelsel (het tweetallige stelsel) zijn er maar twee cijfers: 0 en 1. De basis van dit positiestelsel is 2. Bijvoorbeeld 10111 bestaat uit:
1 eenheid
1 tweetal = 1 ⋅ 2¹
1 viertal = 1 ⋅ 2²
0 achttallen = 0 ⋅ 2³
1 zestiental = 1 ⋅ 2⁴

 

En dus is 10111 in het binaire stelsel gelijk aan
1 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2² + 0 ⋅ 2³ + 1 ⋅ 2⁴ = 23
in het tientallig stelsel.

 

In het binaire stelsel kun je net zo rekenen als in het tientallig stelsel. Probeer het maar eens...

 

Een decimaal getal omrekenen naar een binair getal gaat door halveren.
Neem bijvoorbeeld 79.
Steeds halveren geeft:

39, rest 1
19, rest 1
9, rest 1
4, rest 1
2, rest 0
1, rest 0

Dus 79 is 1001111 in het tweetallig stelsel.
Snap je waarom dit werkt?

 

Maar ja, waarom zou je je druk maken over het binaire stelsel?
Nu, dat is eenvoudig: in de voorgaande eeuw is de computer uitgevonden. En de huidige computer werkt alleen met 0 (signaal uit) en 1 (signaal aan), dus met binaire getallen.
Leibniz zal daaraan niet gedacht hebben, hoewel ook in die tijd het maken van een (mechanisch) rekenapparaat een "hot item" was.

 

 

 

Twaalftallige en zestigtallige stelsels

Het werken in het tientallig stelsel is voor ons doodgewoon. Toch is dat een betrekkelijk nieuwe ontwikkeling. Eigenlijk weet je dat ook wel: er zijn nog veel situaties waarin andere getalstelsels worden gebruikt. Denk maar aan het weergeven van de tijd. Daarin worden seconden, minuten en uren gebruikt in het zestigtallig stelsel:

1 uur = 60 minuten
1 minuut = 60 seconden

en een goede marathontijd is 2:10:45, dus 2 uur, 10 minuten en 45 seconden.
In dit stelsel is:

 

1:20:55 + 1:50:06 = 3:31:01

 

Vaak wordt dit systeem vermengd met het twaalftallig stelsel:
de dag heeft 12 uur
de nacht heeft 12 uur
een etmaal (dag en nacht samen) heeft 24 uur.
Daarom is een klok in twaalven verdeeld.
Daarom is een volle hoek 360^o (want 360 is deelbaar door 60 en door 12).

 

Het twaalftallig en zestigtallig stelsel zijn van oudsher gemakkelijker om mee te werken dan het tientallig stelsel: 60 en 12 hebben meer delers dan 100 en 10 en dus kun je delen van iets vaker met een geheel getal aangeven. Kijk maar:
een dozijn is 12 stuks;
1/2 deel van een dozijn is 6 stuks; 1/3 deel is 4 stuks, 1/4 deel is 3 stuks; 1/6 deel is 2 stuks.
Probeer zoiets maar eens met 10...
Toch overheerst het tientallig stelsel, dat schrijft makkelijker...

 

 

 

Het achttallig stelsel

In een achttallig stelsel (het octale stelsel) zijn er maar acht cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. De basis van dit positiestelsel is 8. Bijvoorbeeld 2463 bestaat uit:

3 eenheden
6 achttallen = 6 ⋅ 8¹
4 64-tallen = 4 ⋅ 8²
2 512-tallen = 2 ⋅ 8³

 

En dus is 2463 in het achttallig stelsel gelijk aan
3 + 6 ⋅ 8 + 4 ⋅ 8² + 2 ⋅ 8³ = 1331
in het tientallig stelsel.

 

In het achttallig stelsel kun je net zo rekenen als in het tientallig stelsel. Probeer het maar eens...

Een decimaal getal omrekenen naar een achttallig getal gaat door delen door 8.
Neem bijvoorbeeld 5402.
Steeds delen door 8 geeft:

675, rest 2
84, rest 3
10, rest 4
1, rest 2

en tenslotte blijft 1 over
Dus 5402 is 12432 in het achttallig stelsel.
Ga zelf maar eens na waarom dit werkt!

 

 

 

Zestientallig stelsel

Computers werken met bits en bytes. Een bit is 1 teken (in het binaire stelsel) maar een byte was in het begin 8 tekens, tegenwoordig 16 tekens. Bytes zien er dus zo uit: 1011100110001111 Dat leest niet zo lekker.

In het tientallig stelsel gaat dat een stuk beter, maar het omzetten van binair naar decimaal is even wat werk. Probeer 1011100110001111 maar eens om te zetten in een decimaal getal.

Dat gaat een stuk gemakkelijker in het zestientallig stelsel, het hexadecimale stelsel. Daarin zijn er 16 "cijfers", namelijk 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E en F. Nu kun je met 4 binaire tekens (0 en 1) precies 16 symbolen maken, dus elk binair groepje van 4 tekens is precies één hexadecimaal "cijfer". De byte 1011100110001111 is dus in hexadecimale notatie:

 

1011 1001 1000 1111 (bin) = B98F (hex)

 

Je ziet dat B98F veel makkelijker leest.
De kans op fouten wordt veel kleiner dan al die nullen en énen achter elkaar.

 

En ook met zo'n positiestelsel kun je rekenen als in het tientallig stelsel. Hoewel... het is wel even wennen aan die extra "cijfers". Het principe blijft hetzelfde.
Leuk om even zelf uit te zoeken hoe optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in het zestientallig stelsel in zijn werk gaat!

 

 

 

---

Math4all