Stelling van Pythagoras en bewijzen

Het belang van de stelling van Pythagoras in het wiskundeonderwijs

De stelling van Pythagoras (SvP) is natuurlijk een heel mooie stelling die handige toepassingen heeft. Denk daarbij bijvoorbeeld aan het omgekeerde van de stelling: als je een 3:4:5 driehoek maakt (verhouding van de zijden, bijvoorbeeld met drie stukken hout) dan heb je met zekerheid een rechte hoek geconstrueerd tussen die 3:4 zijden. En, natuurlijk, de mogelijkheid die de SvP geeft om de afstand tussen twee punten uit te rekenen als je de coördinaten van die punten kent.

Maar wiskundig didactisch is de SvP vooral belangrijk omdat je die zo goed kunt gebruiken voor een discussie over een belangrijk wiskundig concept: bewijzen.

Veel leerlingen zullen bewijzen niet boeiend vinden en iets dat wel aannemelijk is voor waar willen verslijten. Maar, is iets dat aannemelijk is ook altijd waar?
Daarin zit de kracht van de SvP: het is met eenvoudige middelen te bewijzen dat die regel altijd waar is en dat er dus geen stiekeme uitzondering bestaat. Dat het dus ècht een stelling is.

Het bewijzen van allerlei wiskundige zaken schiet er in ons middelbare onderwijs vaak bij in. Daar is niet zoveel op tegen. Iedereen wil sommige regels of stellingen wel geloven zonder een bewijs te zien of zonder een bewijs precies te begrijpen. Dat geldt ook voor wiskundedocenten en zeker ook voor hoogopgeleide wiskundigen. Sommige bewijzen zijn nu eenmaal zo complex dat er maar weinig mensen zijn die het bewijs kennen. Dat maakt de stelling natuurlijk niet minder waar, zolang je dit principe accepteert: deze stelling is bewezen en er zijn andere wiskundigen door het gepresenteerde bewijs overtuigd van de juistheid daarvan, dus we beschouwen die stelling als juist.

Bedenk dat het leven veel te kort is om alle kennis eerst zelf te verifiëren voordat je die als kennis tot je neemt. Wie heeft ooit gecontroleerd dat de aarde om de zon draait en niet omgekeerd? Wie heeft ooit gecontroleerd dat het element H (waterstof) uit slechts één proton en één elektron bestaat? Wie heeft ooit gecontroleerd dat de slag bij Nieuwpoort inderdaad in 1600 plaats vond? Zo kan ik nog wel even doorgaan. Toch zijn er weinig mensen die hieraan twijfelen of er een afwijkende mening over hebben.

Terug naar de SvP. Ik loop een aantal aanpakken door...

 

 

 

De stelling van Pythagoras invoeren

Er zijn diverse manieren om de stelling van Pythagoras in te voeren.

 

Intuïtief rekenkundig

 

Laat iedereen een willekeurige rechthoekige driehoek tekenen, van een flink formaat. Zorg ervoor dat er rechthoeken met verschillende afmetingen worden gekozen. Laat je leerlingen alle zijden opmeten in mm nauwkeurig en vervolgens de kwadraten van die lengten in mm uitrekenen (rekenmachientje) en de som van de twee kleinste uitkomsten vergelijken met de grootste.

Als je al die getallen centraal verzamelt zullen er niet veel exact kloppende SvP uitkomsten te zien zijn (meetfoutjes verzieken de boel een beetje) maar wel heel veel bijna kloppende.

Discussie over: hier is iets merkwaardigs aan de hand…

Wat voorspellen jullie, zonder rekenmachientje, bij deze 12 : 16? (die had vast nog niemand geprobeerd) en dan controleren of de voorspelling klopt.
De (bijna) correctheid van de regel bij grote aantallen driehoeken overtuigt – maar is natuurlijk geen bewijs.

 

Intuïtief meetkundig

 

Laat leerlingen op een rooster driehoeken maken met vierkanten op de zijden. Laat ze van die vierkanten de oppervlaktes berekenen (door "roosterhokjes tellen") en laat ze ontdekken dat alleen bij rechthoekige driehoeken het grootste vierkant de som is van de andere twee. Maar dat het dan ook altijd geldt!
Dit kun je heel mooi doen met GeoGebra, bekijk de applet.

Ze ontdekken zo zelf de SvP.
Maar een bewijs ontbreekt: is wat je hebt ontdekt wel altijd geldig? Hoe zit het met rechthoekige driehoeken die niet op een rooster zijn getekend?

 

Een andere meetkundige aanpak, of een vervolg op het vorige gaat zo:

Neem een stuk papier. Teken een vierkant op een stuk papier en knip dat uit. De maat van het vierkant is onbelangrijk.

Teken op elke zijde van het vierkant een punt dat op een vaste afstand van het hoekpunt ligt, zie figuur 1. Hoe ver het punt van de hoek ligt is niet belangrijk, als je maar vier keer dezelfde afstand neemt.
Knip vier keer een driehoek af van het punt van de ene zijde naar het punt op de volgende. Als het goed ging heb je nu vier even grote rechthoekige driehoeken afgeknipt (de rode in het figuur 2 en figuur 3).
Leg de driehoeken zoals in figuur 2. Het paarse vierkant dat overblijft is een vierkant met als zijde de langste zijde van de driehoeken.
Leg nu de driehoeken zoals in figuur 3. De twee vierkanten die overblijven hebben als zijde de lengte van de twee andere zijden van de driehoek(en).
De twee paarse vierkanten uit figuur 3 hebben samen dezelfde oppervlakte als het grote uit figuur 2. Ze zijn immers samen met de vier driehoeken even groot als het vierkant waarmee we begonnen.

Hier zijn de vierkanten en één driehoek op nog een andere manier weergegeven (figuur 4). Dat geeft het plaatje dat echt hoort bij de stelling van Pythagoras. En die luidt:

 

Bij elke rechthoekige driehoek geldt dat de som van de oppervlakte van de twee kleine vierkanten precies gelijk is aan de oppervlakte van de grote.

 

Omdat je nu met willekeurige afmetingen hebt gewerkt, kun je dit als bewijs van de stelling opvatten.
Voor dit bewijs blijven twee argumenten ongenoemd. Eén argument dat intuïtief eenvoudig is: de oppervlakte van een figuur verandert niet als je die figuur verschuift of (om)draait.
Ook neem je in figuur 2 aan dat de paarse figuur een vierkant is, dus dat zijden gelijk zijn en de hoeken alle 90°. Het eerste is evident – de lange zijden van de driehoeken zijn immers even precies groot. Voor de rechte hoek gebruik je dat de som van de hoeken van een driehoek altijd 180° is (dus dat de twee scherpe hoeken samen 90° zijn) en dat een gestrekte hoek ook 180° is.

 

 

 

Algebraïsche bewijzen

Wanneer leerlingen enige algebraïsche vaardigheid hebben, zijn algebraïsche bewijzen van de SvP overzichtelijk en elegant.

 

Een algebraïsch bewijs dat in veel methodes wordt (werd) gebruikt gaat zo:
Bouw een vierkante vorm op met behulp van vier gelijke (eigenlijk: congruente) rechthoekige driehoeken.
Het rode vierkant heeft een zijde van `c` en dus een oppervlakte van `c^2`.
Het kleine paarse vierkant heeft een zijde van `a-b` en dus een oppervlakte van `(a-b)^2= a^2-2ab+b^2`.
De vier driehoeken hebben ieder een oppervlakte van `(a*b)/2` dus samen `4*(a*b)/2=2ab`.
Blijkbaar geldt `c^2=(a-b)^2+2ab`. Haakjes wegwerken levert: `c^2=a^2-2ab+b^2+2ab= a^2+b^2`.

 

Een iets andere versie is:

 

Bouw een vierkante vorm op met behulp van vier gelijke (eigenlijk: congruente) rechthoekige driehoeken.
Het paarse vierkant heeft een zijde van `c` en dus een oppervlakte van `c^2`.
Het rode vierkant heeft een zijde van `a+b` en dus een oppervlakte van `(a+b)^2= a^2+2ab+b^2`.
De vier driehoeken hebben ieder een oppervlakte van `(a*b)/2` dus samen `4*(a*b)/2=2ab`.
Blijkbaar geldt `c^2=(a+b)^2-2ab`. Haakjes wegwerken levert: `c^2=a^2+2ab+b^2-2ab= a^2+b^2`.

 

In beide gevallen blijft één argument ongenoemd: hoe weet je dat het rode vierkant in de bovenste figuur en het paarse vierkant in de onderste figuur ook echt een vierkant is?

 

 

 

De stelling uitbreiden en een hoogtelijnbewijs

De stelling van Pythagoras geldt ook als je andere figuren dan vierkanten op de zijden van een rechthoekige driehoek tekent, zoals de halve cirkels hiernaast.

 

Dat kun je begrijpen als je ziet dat de oppervlaktes van de halve cirkels een vast gedeelte zijn van die van de omgeschreven vierkanten (om precies te zijn: `pi/8 ~~ 0,39`).
En als `a^2+b^2=c^2`, dan is ook `0,39*a^2 + 0,39*b^2 = 0,39*c^2`.

 

En dat argument geldt voor alle gelijkvormige vlakke figuren die je op de zijden van de rechthoekige driehoek kunt tekenen.

 

De SvP is dus veel algemener dan je misschien zou denken. Anders gezegd: er is een algemene stelling waarvan de SvP slechts een bijzonder geval is. Als je die algemene stelling kunt bewijzen, dan is de SvP eenvoudig een gevolg.

 

En, ja, er is een heel eenvoudig bewijs voor die algemenere stelling.

 

Teken de hoogtelijn vanuit de top van de rode rechthoekige driehoek. Die knipt de rode driehoek in twee delen, die beide gelijkvormig zijn met de oorspronkelijke driehoek (!).

Vouw de driehoeken naar buiten over hun lange zijde. De twee kleine zijn even groot als de grote. De SvP geldt blijkbaar als je deze gelijkvormige rechthoekige driehoeken tekent, maar dan ook voor alle andere gelijkvormige vlakke figuren die op de zijden van de driehoek zijn getekend – zoals vierkanten. Et voilà: de SvP.

 

 

 

Een bewijs met gelijkvormigheid

En dan is er nog een zeer eenvoudig bewijs van de SvP met behulp van gelijkvormigheid.

 

Teken een willekeurige rechthoekige driehoek met zijden `a`, `b` en `c` en maak daarvan drie kopieën. Vergroot de eerste kopie met een factor `b`, de tweede met een factor `a` en de derde met factor `c`.

De maten van de zijden zijn in de figuur aangegeven. Merk op dat de eerste en derde kopie beide een zijde van `bc` hebben. En dat de tweede en derde kopie beide een zijde van `ac` hebben.

Je kunt deze drie vergrote driehoeken door spiegelen en verschuiven zo tegen elkaar leggen, dat er een rechthoek ontstaat!
En duidelijk is dat onderzijde `c c` (`=c^2`) even groot is als `aa` (`=a^2`) en `bb` (`=b^2`) samen, en dus geldt `a^2+b^2 = c^2`.

 

 

Je ziet dat het schalen van een rechthoekige driehoek leidt tot een bewijs van de SvP!

 

Heb je een verloren momentje in de lessen over vergroten en verkleinen, dan is dit een leuke en verrassende invulling.

 

 

 

---

Math4all Auteur: Jan Speelpenning