Simpson

De tijd van Simpson

Na de dood van Willem III van Oranje (koning William I van Engeland) werd Anne (dochter van James II) koningin van Engeland en vanaf 1707 van Engeland en Schotland samen. In dat jaar werden via "Acts of the Union" de koninkrijken van Engeland en Schotland tot het "Kingdom of Great-Britain" samengevoegd. (Pas in 1800 voegde ook Ierland zich hierbij en ontstond het huidige Groot-Britannië). Londen werd de hoofdstad en de zetel van het parlement.
Het Groot-Britannië van het begin van de achttiende eeuw groeide uit tot de belangrijkste koloniale macht van Europa, nadat de Spaanse successieoorlog door Frankrijk en Spanje was verloren van Engeland, Portugal, Nederland en het Heilige Roomse Rijk. Spanje's rol als koloniale grootmacht werd beperkt, evenals die van Frankrijk.
De troonopvolging was geregeld in een "Act of settlement", waarin Sofia van Hannover de kleindochter van James I tot troonopvolger werd aangewezen en werd bepaald dat het Engelse staatshoofd Anglicaans diende te zijn. Vandaar dat na de dood van Anne (1714) de keurvorst van Hannover als George I koning van Engeland werd (van 1714 - 1727) en na hem George II (1727 - 1760).

 

 

 

Over Simpson

Thomas Simpson is op 20 augustus 1710 in Market Bosworth (in Leicestershire, Engeland) geboren als zoon van een wever. Hij ging niet erg lang naar school en moest al jong als wever de kost verdienen. Maar kennelijk wilde de jonge Thomas niet zijn hele leven wever blijven, want hij leerde zichzelf wiskunde.
Al op vijftienjarige leeftijd verliet hij zijn geboorteplaats om in Nuneaton onderwijzer te worden. Toen hij 20 was trouwde hij met zijn kostjuffrouw en in 1736 woonde hij met haar in Londen, waar ze twee kinderen kregen. Hij was er één van de eerste leden van de "Spitalfields Mathematical Society", een vereniging van mensen die uit de arbeidersklasse kwamen en die tegen een kleine vergoeding in koffiehuizen voordrachten over wiskunde gaven voor de "gewone man". Verschillende koffiehuizen specialiseerden zich in kennisgebieden als kunst, handel, recht en wiskunde. Simpson werkte er om in zijn levensonderhoud te voorzien.
Hij vestigde er een goede reputatie, want in 1743 werd hij benoemd tot hoofd van de sectie wiskunde van de "Royal Military Academy" te Woolwich. Deze academie bestond net twee jaar en de benoeming had een duidelijke invloed op Simpson's werk.

Vanaf 1737 begon Simpson artikelen en boeken te publiceren over wiskunde. Dat jaar publiceerde hij "A new treatise on fluxions" over de eerste beginselen van de differentiaal- en integraalrekening gebaseerd op de "fluxierekening" van Newton. In die tijd was dit nog een geheel nieuw wiskundig onderwerp en het schrijven van zo'n heldere verhandeling was dan ook een respectabele klus.
Simpson's verdere werk betrof vooral het numeriek benaderen van integralen (de "regel van Simpson") en nulpunten van functies (de "Newton-Raphson" methode).
In 1740 verscheen zijn boek "The nature and laws of chance", waarin hij voortborduurde op het werk van De Moivre op het gebied van de kansrekening. Vanaf 1743 richtte hij zich weer vooral op de toepassingen van de differentiaal- en integraalrekening. Zijn bekendste werk uit die tijd is "The doctrine and application of fluxions" (uit 1750).

Intussen was hij ook verbonden aan diverse tijdschriften zoals "Ladies Diary", "Gentleman's Diary", "Gentleman's Magazine" en "Miscellanea Curiosa Mathematica" waarin hij gestelde wiskundige problemen oploste, meestal onder diverse pseudoniemen. Zijn wiskundige bekwaamheden trokken mede hierdoor de aandacht van collegawiskundigen.

Thomas Simpson overleed op 14 mei 1761 in Market Bosworth.

 

 

 

Simpson's werk

De regel van Simpson

Omdat integralen vaak niet eenvoudig exact kunnen worden berekend, bestaan er diverse methoden om ze te benaderen. Eén van die benaderingsmethoden is de regel van Simpson. Daarmee wordt een integraal over een bepaald interval $[a,b]$ benaderd door een gewogen som van de functiewaarden aan het begin, het midden en het eind van dit interval:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\frac{b-a}{6}\left(f\left(a\right)+4\cdot f(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right))$

Deze regel kun je afleiden door de functie $f$ te vervangen door een kwadratische functie $p$ door $(a,f(a\left)\right)$, $(\frac{a+b}{2},f(\frac{a+b}{2}\left)\right)$ en $(b,f(b\left)\right)$. Van die kwadratische functie kun je dan door primitiveren de gewenste integraal uitrekenen en dan vind je de hierboven gegeven formule.
Deze benadering van de intergraal van $f$ op $[a,b]$ wordt (natuurlijk) beter naarmate de gegeven functie minder afwijkt van de parabool waardoor hij wordt benaderd.

Deze benaderingsmethode was al eerder door Newton bedacht, Simpson heeft dat ook altijd wel aangegeven, maar toch is de naam ervan aan hem blijven kleven.

 

De Newton-Raphson methode

Dit is een benaderingsmethode voor het oplossen van een vergelijking van de vorm $f\left(x\right)=0$ wanneer algebraïsche methoden niet voorhanden zijn. De huidige vorm van deze methode - waarbij met de afgeleide wordt gewerkt - is bedacht door Simpson.

Het werkt als volgt:

• Bekijk de grafiek van $f$ en begin met een $x$-waarde in de buurt van de nulwaarde die je wilt benaderen. (In de figuur is $x=3$ gekozen.)
• Teken in het punt op de grafiek met die $x$-waarde $x_0$ (hier dus $3$) een raaklijn aan de grafiek. De $x$-waarde van het punt waar die raaklijn de $x$-as snijdt is de eerste benadering $x_1$. Die waarde bereken je zo $x_1=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f^{\prime }\left(x_0\right)}$. (Dat kun je in de figuur wel meetkundig beredeneren, bedenk dat$f^{\prime }\left(x_0\right)$ de helling van de raaklijn is en werk dan met verhoudingen in de driehoek die ontstaat.)
• Nu ga je deze procedure herhalen, dus je tekent de raaklijn in $(x_1,f(x_1\left)\right)$ en snijdt die weer met de $x$-as om $x_2$ te vinden. Nu is $x_2=x_1-\frac{f\left(x_1\right)}{f^{\prime }\left(x_1\right)}$.
• Weer herhaal je de procedure, tot je de gewenste nauwkeurigheid hebt bereikt. Je moet al snel op de grafiek inzoomen. Steeds is $x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)}$.

 

In feite heb je de figuur niet nodig, kies een startwaarde en pas deze methode zuiver rekenkundig toe. Alleen voor het kiezen van de startwaarde is soms de grafiek handig, je wilt het liefst in de buurt van de te benaderen $x$-waarde beginnen.
Deze werkwijze is te programmeren en dus in een rekenmachine "in te bakken". Want hoe denk je dat jouw rekenmachine nulwaarden bepaalt?

 

De formules van Simpson

De goniometrische formules voor het optellen/aftrekken van twee sinussen of twee cosinussen worden wel de formules van Simpson genoemd. Af en toe spreekt men ook wel van de formules van Mollweide (naar de Duitse astronoom Karl Brandan Mollweide (1774 - 1825)). Je kent ze als

• $sin\left(p\right)+sin\left(q\right)=2sin\left(\frac{p+q}{2}\right)cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$
• $sin\left(p\right)-sin\left(q\right)=2cos\left(\frac{p+q}{2}\right)sin\left(\frac{p-q}{2}\right)$
• $cos\left(p\right)+cos\left(q\right)=2cos\left(\frac{p+q}{2}\right)cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$
• $cos\left(p\right)-cos\left(q\right)=-2sin\left(\frac{p+q}{2}\right)sin\left(\frac{p-q}{2}\right)$

Je kunt ze afleiden uit de formules voor $sin(\alpha +\beta )$, $sin(\alpha -\beta )$, etc. Je neemt dan $\alpha +\beta =p$ en $\alpha -\beta =q$. Een goede oefening...

 

 

 

---

Math4all