Een sangaku (算額 San Gaku, Wiskundig Bord) is een Japanse "wiskunde-plank", waarop een meetkundige stelling is uitbeeld. De originelen dateren uit de Edo-periode (1603 - 1867) toen Japan in volledig isolement leefde ten opzichte van de Westerse wereld. Ze werden gemaakt door mensen uit uiteenlopende lagen van de bevolking en soms zelfs door kinderen. Ze zijn te vinden in oude Shinto-heiligdommen en soms in Boeddhistische tempels waarin ze werden opgehangen uit dankbaarheid voor het vinden van de stelling. Maar meestal werd het bewijs van de stelling achterwege gelaten als uitdaging voor andere meetkundigen. Ook nu kun je ze nog als uitdaging, als puzzel opvatten. Of... zelf ontwerpen. Ik heb er hieronder een stuk of twaalf sangaku's in eigen vormgeving voor je klaargezet...
Bekijk deze sangaku. Je ziet twee cirkels met een verschillende straal die elkaar raken. Ze hebben dan ook nog twee andere raaklijnen gemeen. Daarvan is er één getekend, de horizontale lijn in de figuur. Tussen de twee raakpunten met die horizontale raaklijn zit een lijnstuk. Hopelijk kun je uit de figuur opmaken dat het erom gaat de lengte van dat lijnstuk uit te drukken in de stralen van beide cirkels.
Om het jezelf gemakkelijker te maken, kun je de verschillende stralen eerst een waarde geven en daarmee proberen de lengte van het lijnstuk met het vraagteken erbij te berekenen. Neem bijvoorbeeld `3` voor de straal van de grote cirkel en `2` voor die van de kleinere. Probeer nu zelf te berekenen dat de gevraagde afstand `sqrt(24) = 2sqrt(6)` moet zijn.
Maar liever doe je dit meer algemeen: Noem het middelpunt van de grote cirkel `M_1` en dat van de kleinere cirkel `M_2`. Noem de straal van de grote cirkel `r_1` en die van de kleinere cirkel `r_2`. Nu is `M_1 M_2 = r_1 + r_2`. Te berekenen (het vraagteken) is dan `x`. Met de stelling van Pythagoras vind je: `(r_1 + r_2)^2 = x^2 + (r_1 – r_2)^2`. En dit levert op: `x^2 = 4 r_1 r_2`. Nu nog even worteltrekken: `x = sqrt(4 r_1 r_2) = 2 sqrt(r_1 r_2)` De laatste details: bewijs dat er sprake is van rechte hoeken op de juiste plaatsen (om de stelling van Pythagoras te kunnen toepassen).
Veel sangaku's gaan over vlakke euclidische meetkunde waarin cirkels die in vierkanten zitten. Ze zijn meestal op te lossen met behulp van de stelling van Pythagoras en soms wat goniometrie. Ik laat er enkele voorbeelden van zien om op te puzzelen.
In deze sangaku zie je een vierkant met daarin twee kwart cirkels met de zijde van het vierkant als straal. Het gaat om het berekenen van de oppervlakte van de kleinere cirkel die beide kwart cirkels raakt.
Je wilt natuurlijk zelf die oppervlakte uitdrukken in de zijde van het vierkant. Het is verstandig om dan `a` voor de lengte van die zijde te nemen en `r` voor de straal van de kleine cirkel. Ik kreeg voor de gevraagde oppervlakte `1/36 pi a^2`. Eventueel kun je ook voor de zijde van het vierkant gewoon `1` nemen.
In deze sangaku zie je een vierkant met daarin een kwart cirkel met de zijde van het vierkant als straal. Daarin bevindt zich een cirkel die twee zijden van het vierkant en de kwart cirkel zelf raakt. Het gaat om het berekenen van de oppervlakte van de kleinere cirkel die beide zijden van het vierkant en de cirkel binnen de kwartcirkel raakt.
Je wilt natuurlijk zelf die oppervlakte uitdrukken in de zijde van het vierkant. Het is verstandig om dan `a` voor de lengte van die zijde te nemen, `R` voor de straal van de grotere cirkel binnen de kwartcirkel en `r` voor de straal van de kleine cirkel. Eventueel kun je ook voor de zijde van het vierkant gewoon een willekeurig getal nemen.
In deze sangaku zie je een vierkant met een diagonaal en een halve cirkel met een zijde als diameter. Het gaat om het berekenen van de oppervlakte van de kleinere cirkel die zowel de halve cirkel als de diagonaal raakt.
Je wilt natuurlijk zelf die oppervlakte uitdrukken in de zijde van het vierkant. Het is verstandig om dan `2a` voor de lengte van die zijde te nemen en `r` voor de straal van de kleine cirkel. Eventueel kun je ook voor de zijde van het vierkant gewoon `2` nemen.
In deze sangaku zie je een vierkant dat deels is omgevouwen. Een cirkel raakt twee zijden van het oorspronkelijke vierkant en nog een zijde van het omgevouwen deel. Weer wil je de oppervlakte van die cirkel weten. Maar die hangt niet zozeer af van de lengte van de zijden van het vierkant, maar meer van hoe je hebt gevouwen. Kortom hij hangt dus af van bijvoorbeeld het deel dat onderaan uitsteekt.
Je wilt natuurlijk zelf de oppervlakte bepalen. Het is verstandig om voor de lengte van de rechthoekszijde van het driehoekje dat onderaan uitsteekt die het dichtst bij de witte cirkel zit `x` te nemen en voor de straal van die cirkel `r`. En dan kun je iets verrassends aantonen.
In deze sangaku zie je een vierkant met daarin een diagonaal en een lijnstuk vanuit een hoekpunt naar het midden van een zijde. De cirkel raakt een zijde, de diagonaal en het lijnstuk. Weer wil je de oppervlakte van die cirkel weten.
Je wilt natuurlijk zelf die oppervlakte uitdrukken in de zijde van het vierkant. Het is verstandig om dan `2a` voor de lengte van die zijde te nemen en `r` voor de straal van de cirkel. Ik krijg dan: `r = (4a)/(3+2sqrt(2)+sqrt(5))`. Eventueel kun je ook voor de zijde van het vierkant gewoon een willekeurig getal nemen.
In deze sangaku zie je een vierkant met daarin twee kwartcirkels. In die kwart cirkels zit een vierkant waarvan één zijde op de zijde van het grotere vierkant ligt en waarvan de twee andere hoekpunten elk op één van de kwart cirkels liggen. Een klein cirkeltje raakt de twee kwart cirkels en het kleinere vierkant. Weer wil je de oppervlakte van dit cirkeltje weten.
Je wilt natuurlijk zelf die oppervlakte uitdrukken in de zijde van het grote vierkant. Het is verstandig om dan `2a` voor de lengte van die zijde te nemen en `r` voor de straal van de cirkel. Voor de zijde van het kleine vierkant kun je als hulpvariabele bijvoorbeeld `x` nemen. Ik vind dan voor de oppervlakte van de witte cirkel `1521/25600 pi a^2`. Eventueel kun je ook voor de zijde van het vierkant gewoon een willekeurig getal nemen.
Sommige sangaku's bestaan uit cirkels soms in/aan/op driehoeken, vierhoeken. Ook hiervan geef ik een aantal voorbeelden om aan de puzzelen. Dat de figuren vaak zijn getekend in een vierkantje speelt verder geen enkele rol meer
In deze sangaku zie je drie cirkels waarvan steeds het middelpunt een snijpunt van de andere twee cirkels is. Van het gebied dat binnen al die drie cirkels ligt wil je de oppervlakte weten.
Je wilt natuurlijk zelf die oppervlakte uitdrukken in de straal van deze cirkels. Je neemt `r` voor de straal van elke cirkel. Ik krijg voor de oppervlakte van het witte gebied `1/2 (pi - sqrt(3))r^2`. Eventueel kun je een willekeurig getal voor de straal nemen.
In deze sangaku zie je cirkel met daarin een gelijkzijdige drie met alle drie de hoekpunten op die cirkel en een ingeschreven cirkel (die aan alle drie de zijden van de driehoek raakt). Van het gebied binnen de ingeschreven cirkel wil je de oppervlakte weten, afhankelijk van de straal van de grote cirkel.
Je wilt natuurlijk zelf die oppervlakte uitdrukken in de straal van de grote cirkel. Je neemt bijvoorbeeld `R` voor de straal van de grote cirkel en `r` voor die van de kleinere. In krijg dan `r = 1/2 R`, waarmee je de oppervlakte van de witte cirkel in `R` kunt uitdrukken. Eventueel kun je ook een willekeurig getal nemen voor de straal van de grote cirkel..
In deze sangaku uit 1824 (in de prefectuur Gunma) zie je drie cirkels die een horizontale raaklijn gemeenschappelijk hebben. Ook raken ze elkaar Het gaat er nu om een verband te vinden tussen de drie stralen van deze cirkels.
Je wilt natuurlijk zelf dit verband vinden. Je neemt bijvoorbeeld `r_1` voor de straal van de grootste, `r_2` voor die van de middelste en `r_3` voor die van de kleinste cirkel. Ga na, dat je krijgt: `1/(r_1) + 1/(r_2) = 1/(r_3)`.
In deze sangaku zie je een grote cirkel waarbinnen twee cirkels met een half zo grote straal en twee cirkelbogen met dezelfde straal als de grote cirkel. Vervolgens raken de acht even grote kleine cirkels de grotere cirkels en de cirkelbogen en soms elkaar. Om het op het uiteinde van een pauwenstaart te laten lijken, moet je wat kleuren toevoegen. Het gaat er nu om de oppervlakte van de witte cirkels uit te drukken in de staal van de grote cirkel.
Je wilt natuurlijk zelf deze oppervlakte vinden. Neem bijvoorbeeld `R` voor de straal van de grootste en `r` voor die van de kleinste cirkels. (Bedenk dat je er dan van uit gaat dat die witte cirkels even groot zijn. Misschien zou je dat ook nog kunnen aantonen?)
Misschien denk je inmiddels dat alle sangaku's over cirkels gaan en gewoon altijd zijn op te lossen met wat elementaire vlakke meetkunde, zoals de stelling van Pythagoras en heel soms wat goniometrie. Maar over cirkels gaan ze zeker niet altijd en dat er pittige vraagstukken bij waren is ook wel degelijk het geval. Hier zie je een foto van een verzameling sangaku's in Osaka. Veel kleurrijker dan mijn figuren.
Kijk voor totaal andere sangaku's op één van de andere sites, met name op die van cut-the-knot.org zijn er nogal wat te vinden. Ik laat er nog twee zien zonder cirkels...
In deze sangaku uit 1806 (in de Gikyosha tempel van Niikappugun, Hokkaido) zie je een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden `a` en `b`. Daarin is een rechthoek getekend met één hoekpunt dat van de rechte hoek en het andere hoekpunt op de hypotenusa (langste zijde) van de driehoek. Verder liggen twee zijden op de rechthoekszijden van de driehoek.
Je moet nu bepalen hoe groot de maximale oppervlakte van de rechthoek is, uitgedrukt in `a` en `b`.
In deze sangaku uit 1912 (in de prefectuur Miyagai) zie je een pentagon, een regelmatige vijfhoek, waaraan zes congruente rechthoekige driehoeken lijken te groeien. De eerste (rechter) rechthoekige driehoek heeft een hypotenusa die precies horizontaal loopt. Het gaat er om de lengte van die hypotenusa uit te drukken in de lengte van de zijden van het pentagon.
Je wilt natuurlijk zelf dit verband vinden. Je neemt bijvoorbeeld `a` voor de lengte van de zijden van het pentagon. Ik krijg voor de lengte van de hypotenusa ongeveer `3,236a`.
Ik hoop dat je plezier beleefd hebt aan het oplossen van deze wiskundige puzzeltjes. Ze zijn ook zeer geschikt om met leerlingen in de klas te doen als je het idee hebt dat ze iets te weinig uitdaging vinden in de reguliere les. Ikzelf vind ze in ieder geval leuk om aan te puzzelen...
Math4all
Links naar andere sites over dit onderwerp:
» Sangaku in Wikipedia » Sangaku's op Cut-the-knot.org (engelstalig) » Bij EOS wetenschap
Verder bestaat in de Zebra-reeks het boekje "Sangaku's", geschreven door Jeanne Breeman en Hans van Lint.
Mogelijke antwoorden van de puzzels
Ik wil mij aanmelden voor:
