Riemann

De tijd van Riemann

Riemann groeide op in vrij armoedige omstandigheden in een dunbevolkt en minder ontwikkeld deel van het toenmalige Koninkrijk Hannover (ruwweg in het noorden van het huidige Duitsland). Hannover was een merkwaardig koninkrijk: zijn koning was ook koning van Engeland! Toen in Engeland Koningin Victoria op de troon kwam, veranderde deze opmerkelijke situatie omdat troonopvolgers in Hannover mannen dienden te zijn.

In Riemanns tijd was Europa enigszins tot rust gekomen na de uiterst woelige tijden rondom Napoleon. Riemanns vader had nog tegen Napoleon gevochten. In 1848, toen Riemann in Berlijn studeerde, hielp hij nog mee aan een cordon ter bescherming van de koning. De revolutie in Parijs van 1848 was overgewaaid en er was een roep tot vereniging van de diverse Duitse staten.

Universiteiten waren in Riemann's tijd voornamelijk nog onderwijsinstellingen. Voor onderzoek moest je bij academies zijn. Parijs en Berlijn waren twee uitzonderingen, waar het bruiste van nieuwe ontwikkelingen. Reden ook waarom Riemann het wat ingeslapen Göttingen (met natuurlijk wel Gauss als grote ster, zij het dat Gauss al tegen de 70 liep toen Riemann zijn studie begon) enkele jaren verruilde voor Berlijn, met inspirerende wiskundigen als Steiner, Jacobi, Dirichlet en Eisenstein.

 

 

 

Over Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann werd geboren in Breselenz in het toenmalige koninkrijk Hannover (Duitsland) als zoon van de plattelandspredikant Friedrich Bernhard Riemann en Charlotte Ebell. Hij was de tweede van zes kinderen. Riemann is altijd sterk gehecht geweest aan dit gezin. Ondanks het feit dat de familie het niet heel arm had, hadden alle kinderen een betrekkelijk slechte gezondheid. Later verhuisden ze naar Quickborn. In hun jeugd kregen de kinderen gewoon thuis les. Pas toen Bernard 10 jaar oud was kwam een onderwijzer (dhr. Schulz) van de plaatselijke basisschool vader Friedrich helpen bij zijn lesgevende taak.
In 1840 ging Bernard naar het Lyceum in Hannover waar hij meteen in de derde klas werd geplaatst. Hij woonde in Hannover bij zijn grootmoeder. Die overleed echter in 1842 en toen verhuisde Bernard naar het Johanneum Gymnasium in Lëneburg. Hij was een redelijke leerling die hard werkte aan Hebreeuws en theologie en nogal precies was in zijn werk; werkstukken wilde hij pas inleveren als hij zeker wist dat er geen fouten meer inzaten. Toen al had hij een duidelijke interesse had voor wiskunde. Hij mocht van de directeur van het Johanneum Gymnasium wiskunde studeren uit diens eigen privé-bibliotheek. Zo las Riemann in zes dagen tijd Legendre's boek over getallentheorie uit, 900 pagina's wiskunde.

 

Aanvankelijk ging Riemann theologie studeren, op advies van zijn vader, maar uiteindelijk switchte hij toch naar wiskunde. Hij studeerde in Göttingen en Berlijn, promoveerde bij Gauss in 1851, verkreeg het recht om les te geven in 1854 ("privaatdocent") en werd in 1859 hoogleraar te Göttingen als opvolger van Dirichlet (zelf de opvolger van Gauss). Pas met die laatste benoeming kreeg hij een acceptabel inkomen. Tot die tijd had Riemann in armoede geleefd. In deze nieuwe functie kon hij aan trouwen denken en hij huwde in 1862 Elise Koch, een vriendin van zijn oudste zus. Ze kregen een dochter, Ida, genoemd naar Riemanns oudste zus. Maar het geluk zou niet lang duren. Riemanns sowieso al zwakke gezondheid begon hem steeds meer parten te spelen. Hij zocht het betere klimaat van Italië op, maar bezweek daar uiteindelijk in 1866 aan tuberculose.

 

 

 

Riemann's belangrijkste werk

Riemann heeft in zijn leven niet zo veel geschreven, maar wat hij heeft uitgezocht is van grote betekenis gebleken.

 

Complexe functietheorie

In zijn proefschrift uit 1851 onderzoekt Riemann functies van een complexe veranderlijke, een generalisatie van de gewone functies van een reële variabele zoals $f\left(x\right)=x^2$. De termen Cauchy-Riemann vergelijkingen (differentiaalvergelijkingen) en Riemann oppervlak herinneren nog aan dit werk. De inspiratie voor dit werk kwam uit de natuurkunde, maar deze wiskunde is ook een zelfstandig bloeiende tak geworden. Hij bouwde zijn theorie verder uit in zijn artikel over zogenaamde abelse functies (1857).

 

Riemann-integraal

Om privaatdocent te worden diende Riemann twee werken in. In het eerste deel (eind 1853) bespreekt hij de voorwaarden waaraan een functie moet voldoen om geschreven te kunnen worden als (vaak oneindige) som van sinussen en cosinussen. In dit verband ontwikkelde Riemann de naar hem genoemde Riemann-integraal met behulp van zogenaamde Riemann-sommen.

Riemann start met een functie $f$ op een interval $\left[a,b\right]$.
Hij verdeelt het interval in $n$ deelintervallen $\left[x_0,x_1\right],\left[x_1,x_2\right],\dots ,\left[x_{n-1},x_n\right]$ en bekijkt de som

$\left(x_0-x_1\right)f\left(c_1\right)+\dots +\left(x_{n-1}-x_n\right)f\left(c_n\right)$,

waarbij de getalletjes $c_i$ steeds in het interval $\left[x_{i-1},x_i\right]$ moeten liggen.
Riemann definieert de integraal als de limiet, zo die bestaat, van deze sommen wanneer de intervalletjes willekeurig klein worden.
Riemann beantwoordde ook de vraag welke functies dan volgens deze definitie integreerbaar zijn. Daarin ging hij verder dan Cauchy, die alleen continue functies bekeek (denk aan een continue functie als een functie waarvan je de grafiek kunt tekenen zonder je pen van het papier te hoeven halen).
Riemann vond dat niet alleen continue functies integreerbaar zijn, maar dat ook functies met zekere discontinuïteiten (punten waarin de grafiek van de functie "springt") integreerbaar zijn. In zijn werk beschrijft Riemann bijvoorbeeld een vreemde functie $y=f\left(x\right)$ die precies niet continu is als het reële getal $x$ gelijk is aan een breuk $\frac{p}{2q}$ waarbij $p$ oneven is en $p$ en $q$ onderling ondeelbaar zijn (geen delers groter dan 1 gemeenschappelijk hebben; 8 en 15 zijn bijvoorbeeld onderling ondeelbaar, maar 8 en 18 niet, want die twee laatste getallen hebben de factor 2 gemeen). Er zijn dan ook oneindig veel discontinuïteiten. Toch blijkt de functie $f$ integreerbaar te zijn!

 

Meetkunde

Voor het tweede deel (1854) stelde Riemann, zoals gebruikelijk, drie onderwerpen voor, twee over elektriciteitsleer en een over de grondslagen van de meetkunde. De beoordelingscommissie gaf dan aan welk van de drie de kandidaat diende uit te werken en voor de commissie te verdedigen. Tot Riemanns verbazing koos de commissie, op verzoek van Gauss, voor het derde onderwerp: de meetkunde. Riemann werkte dit onderwerp uit en het zou beroemd worden onder de naam "Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen". Hierin onderzoekt Riemann wat nu werkelijk nodig is om meetkundige voorwerpen te beschrijven in alle dimensies.

1-dimensionale objecten zoals grafieken van functies of 2-dimensionale objecten zoals een boloppervlak of bandoppervlak zijn in Riemanns visie slechts speciale gevallen van zogenaamde $n$-dimensionale variëteiten (waarbij $n$ een willekeurig positief geheel getal kan zijn).
Riemann laat de gedachte los dat alles zich in een 3-dimensionale wereld dient af te spelen zoals in het werk van Gauss nog het geval was.
Daarnaast beschrijft hij hoe je op zulke variëteiten afstanden meet. (Tegenwoordig spreekt men van Riemannse variëteiten.) Riemann koppelt dat aan de mate waarin een variëteit afwijkt van een vlak object zoals het gewone platte vlak of de niet-gekromde ruimte. Op gekromde variëteiten is het bijvoorbeeld niet meer zo eenvoudig om aan te geven wat de kortste verbinding is tussen twee punten (een 'geodeet'), gemeten langs de variëteit. Op een boloppervlak gebruik je de grote cirkels om de kortste verbinding tussen twee punten te vinden. Maar op een bandoppervlak wordt het al een stuk lastiger.
Dit werk van Riemann is niet alleen heel fundamenteel voor de wiskunde geweest, maar het is ook precies de wiskunde geweest die Einstein zo'n 60 jaar later nodig bleek te hebben om zijn algemene relativiteitstheorie op te schrijven. Diverse takken van de moderne meetkunde, maar ook theorieën over de structuur van ons universum ("snaartheorie") bouwen voort op wat Riemann ooit begonnen is. Opmerkelijk aan dit werk van Riemann is dat er nauwelijks wiskundige symbolen in voorkomen. Latere wiskundigen hebben Riemanns ideeën uitgewerkt.
Riemann droeg met dit meetkundig werk ook een steentje bij aan de zogenaamde niet-euclidische meetkunde, meetkundes waarin het het begrip parallelliteit in de gebruikelijke zin verviel. Hij definieerde daartoe een (zogenaamde elliptische) meetkunde als volgt: punten zijn per definitie puntenparen op een boloppervlak die diametraal tegenover elkaar liggen. De noordpool en zuidpool tellen samen dus als een punt. Lijnen zijn per definitie grote cirkels op het boloppervlak (cirkels waarvan het middelpunt met het centrum van de bol samenvalt). In deze meetkunde snijdt elk tweetal lijnen elkaar zoals je gemakkelijk kunt inzien.

 

Riemann-hypothese

De Riemann-hypothese is waarschijnlijk het beroemdste openstaande probleem in de wiskunde en spreekt een vermoeden uit over de nulpunten van een functie die Riemann de zeta-functie noemde. Het Clay Mathematics Institute looft een prijs uit van 1 miljoen dollar voor de oplossing van het probleem! Riemann onderzocht, in navolging van onder andere Euler, het aantal priemgetallen dat kleiner is dan een gegeven getal (een priemgetal is een positief geheel getal groter dan 1 en alleen deelbaar door 1 en zichzelf; de eerste vijf priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11). Riemann bracht dit in verband met de zeta-functie

$\zeta \left(s\right)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\dots$ (de functie is gedefinieerd als een oneindige som).

Riemann interpreteerde het functievoorschrift als een complexe functie (dat was het nieuwe inzicht) en kwam bij de bestudering van deze complexe functie tot zijn vermoeden. Riemann beschreef dit werk in zijn "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", een artikel dat hij indiende ter gelegenheid van zijn toetreding tot de Berlijnse Academie van Wetenschappen in 1859.
In de Wikipedia kun je meer over de Riemann-hypothese vinden.

 

 

 

---

Math4all - auteur: Hans Sterk