Al tijdens de Oudheid verbaasde men zich er over dat er hemellichamen zijn die (in tegenstelling tot de zon en de maan die een mooie boog maken en de sterren die “stil” staan) een nogal vreemde beweging maken. Deze hemellichamen doorlopen gezien vanaf onze planeet de Aarde geen mooie cirkelboog, maar lijken soms “terug te lopen”. Ze werden daarom door de Oude Grieken “planetes” (het Griekse “planáomai” betekent “ronddolen”) genoemd, nu spreken we van planeten.
Mars is één van die planeten.
Hoe ontstaat deze retrograde (teruglopende) beweging van Mars?
De afgebeelde planeet is Mars, de “rode planeet”. Mars is, gezien vanaf de zon de vierde planeet van ons zonnestelsel. Het is ook de planeet die het dichtst bij de Aarde staat, tenminste soms… Daarom is Mars vanaf Aarde (zeker met een telescoop, maar vaak ook met het blote oog) goed zichtbaar.
Het beeld dat wij nu hebben van ons zonnestelsel is grotendeels het werk van Johannes Kepler (1571 – 1630). Hij probeerde op grond van heel nauwkeurige waarnemingen van de Deense astronoom Tycho Brahe (1546 – 1601) de beweging van de planeten zo nauwkeurig mogelijk te beschrijven. Daarmee beoogde hij vast te stellen of het geocentrische (de Aarde is het middelpunt van het planetenstelsel) wereldbeeld van Ptolemaeus dan wel het heliocentrische wereldbeeld (de zon is het middelpunt van het planetenstelsel) van Copernicus het juiste is. Kepler kwam na een jarenlange analyse van de waarnemingen tot zijn beroemde drie wetten van Kepler.
Dit model van het zonnestelsel beschrijft de bewegingen van de verschillende planeten en past nauwkeurig bij de waarnemingen. Bekijk de applet. Je ziet daarin hoe een Planeet een ellips beschrijft met de Zon in één van zijn twee brandpunten als je de tijd `t` laat lopen. De omlooptijd `T` is instelbaar, evenals de vorm van de ellips (door de halve assen `a` en `b` aan te passen; denk om `a ge b`).
De plek waar de Planeet de grootste afstand tot de Zon heeft heet het aphelium, de plek waar de Planeet het dichtst bij de Zon staat heet het perihelium. Het middelpunt van de figuur is `M`. Het gemiddelde van de afstanden tot de beide brandpunten `B_1` (de Zon) en `B_2` is een constant getal. In het aphelium (en dus in elk punt van de ellips) is dit gemiddelde gelijk aan `(a - MB_2 + a + MB_1)/2 = a` omdat `MB_1 = MB_2`. De mate waarin een ellips verschilt van een cirkel heet de excentriciteit `e` van de ellips. Een maat voor de excentriciteit is `e = sqrt(1 - (b^2)/(a^2))`. Als `a = b` is de excentriciteit `0` en is de ellips een cirkel. Als `a` veel groter is dan `b` nadert `e` het getal `1`. De excentriciteit van de baan van de Aarde is `e = 0,017`. Dit betekent dat `(b^2)/(a^2) = 0,999711` en `a` en `b` ongeveer gelijk zijn. De baan van de Aarde is vrijwel een cirkel. In de applet wordt de tweede wet van Kepler geen recht gedaan. Dat komt omdat hij de beweging van de planeet over de ellips niet goed weergeeft. Volgens de tweede wet van Kepler (en ook in werkelijkheid) beweegt de planeet sneller als hij dichter bij de zon is. In de applet is dit niet het geval. De fout wordt kleiner naarmate de beweging van de planeet meer op een cirkel gaat lijken. Gelukkig laat de excentriciteit van de Aardbaan zien dat die vrijwel cirkelvormig is. De “straal” van de aardbaan is `1` AE (de Astronomische Eenheid). Hoe zit dat met de planeet Mars? De excentriciteit van de baan van Mars is `e = 0,093`. Dit betekent dat `(b^2)/(a^2) = 0,991351` en `a` en `b` ongeveer gelijk zijn. Ook de baan van Mars is vrijwel een cirkel. Deze baan heeft een "straal" van `1,52` AE. In de applet kun je beide banen instellen. Voor alle planeten is `(T^2)/(R^3)` gelijk (derde wet van Kepler). Voor de Aarde is `(T^2)/(R^3) = 1` en dus voor Mars ook. Dat betekent dat de omlooptijd van Mars kan worden berekend uit `(T^2)/(1,52^3) = 1` en dit levert een omlooptijd op van ongeveer `1,88` jaar.
Omdat planetenbanen vrijwel cirkelvormig zijn ga je in het vervolg uit van zuiver cirkelvormige banen met de zon in het middelpunt een vaste straal met lengte `R`. De straal van de baan van de Aarde is `1` AE (Astronomische Eenheid); `1` AE `~~ 150*10^6` km. De planeten zelf worden gezien als massapunten. Verder neem je aan dat alle planetenbanen in hetzelfde vlak liggen. Zo krijg je een verder vereenvoudigd model van het zonnestelsel. En hiermee kun je dan gaan rekenen…
Om de baan van de Aarde te beschrijven met formules kies je een geschikt assenstelsel, bijvoorbeeld zo: Zon `= Z(0, 0)` en vast, Aarde `= A(1, 0)` op `t = 0` (met `t` in jaren). Als de Aarde beweegt met de tijd, dan geldt (omdat `R = 1`): `x = cos(2pi t)` en `y = sin(2pi t)`. Dit noem je een parametervoorstelling van de baan van de Aarde. De voerstraal `ZA` van de Aarde is gelijk aan `(x(t), y(t)) = (cos(2pi ),sin(2pi ))`. De hoeksnelheid is het aantal radialen per jaar dat de voerstraal aflegt, dus gelijk aan `2pi` rad/jaar. De baansnelheid is het aantal AE/jaar dat de planeet zelf aflegt, dus `2pi * 1 = 2pi` AE/jaar en dat is dus ongeveer `2pi * 150 * 10^6 = 300pi * 10^6 ~~ 942*10^6` km/jaar.
Om de baan van Mars te beschrijven met formules doe je bijna hetzelfde: Zon `= Z(0, 0)` en vast, Mars `= M(1,52; 0)` op `t = 0` (met `t` in jaren). Als Mars beweegt met de tijd, dan geldt (omdat `R = 1,52`): `x = 1,52 cos((2pi)/(1,88) t)` en `y = 1,52sin((2pi)/(1,88) t)`. Dit is een parametervoorstelling van de baan van Mars. De voerstraal `ZM` van Mars is `(x(t), y(t)) = (1,52 cos((2pi)/(1,88) t); 1,52sin((2pi)/(1,88) t))`. De hoeksnelheid is nu `(2pi)/(1,88) ~~ 3,34` rad/jaar. De baansnelheid is nu `(2pi)/(1,88) * 1,52 ~~ 5,08` AE/jaar en dat is dus ongeveer `5,08 * 150 * 10^6 ~~ 762*10^6` km/jaar.
In het algemeen is de parametervoorstelling van de baan van een planeet met straal `R` en omlooptijd `T` gelijk aan: `(x(t), y(t)) = (R*cos((2pi)/T * t), R*sin((2pi)/T * t))`. Hierbij hoort een snelheidsvector van `vec(v) = (x'(t), y'(t)) = (text(-)(2pi R)/T*sin((2pi)/T * t), (2pi R)/T*cos((2pi)/T * t))`en dus een snelheid van `v(t) = sqrt((x'(t))^2 + (y'(t))^2) = (2pi R)/T `. Hierbij hoort een versnellingsvector van `vec(a) = (x''(t), y''(t)) = (text(-)(4pi^2 R)/(T^2)*cos((2pi)/T * t), text(-)(4pi^2 R)/(T^2)*sin((2pi)/T * t))`en dus een versnelling van `a(t) = sqrt((x''(t))^2 + (y''(t))^2) = (4pi^2 R)/(T^2) `. Ga na, dat hieruit volgt: `a = (v^2)/R`.
Noem de massa van een planeet `m`. Voor de kracht die op de planeet wordt uitgeoefend om in zijn baan te blijven geldt `F = m*a`. De derde wet van Kepler zegt `(T^2)/(R^3) = k` is constant. Hieruit volgt: `F = m*a = m*(4pi^2 R)/(T^2)` en dit geeft: `F = (4pi^2 mR)/(T^2)`. Gebruik `(T^2)/(R^3) = k` en je krijgt `F = 4pi^2 k m/(R^2)`.
Isaac Newton (1643 – 1727) leidde zo de universele gravitatiewet af in zijn beroemde boek “Philosophiae naturalis principia mathematica” (De wiskundige grondslagen van de natuurkunde). Die wet zegt dat de planeten in hun baan worden gehouden door een kracht die recht evenredig is met hun massa `m` en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun voerstraal `R`. Omdat Newton de gedachtesprong wilde maken naar een algemeen verschijnsel van massa’s moest hij wel aannemen dat de zon die kracht op de planeet uitoefent en omgekeerd ook de planeet die kracht op de zon uitoefent. Alleen doordat de zonnemassa heel veel groter is dan die van een planeet draait de planeet om de zon en niet omgekeerd. Newton maakte daarom zijn gravitatiewet zo, dat beide massa’s er in voorkwamen. Is de zonnemassa `M`, dan luidt die wet voor de planeten: `F = G (mM)/(R^2)` De Britse natuurkundige Henry Cavendish (1731 – 1810) bedacht een beroemde proef met vier loden bollen (`2` grote, zware en `2` kleine, lichte) om de gravitatieconstante `G` te meten. Lees hierover eventueel meer via één van de links naar andere sites over dit onderwerp.
Je hebt nu gezien dat een geschikt vereenvoudigd model voor het bestuderen van planetenbanen is te maken door de volgende aannames te doen:
Deze laatste aanname is nodig omdat je nu gaat kijken naar de positie van Mars zoals die vanaf Aarde kan worden waargenomen. En daarvoor heb je de vaste sterren nodig.
Bekijk de situatie alsof je boven de equator kunt zweven en er loodrecht op neerkijkt. Je ziet de banen van Aarde en Mars tegelijkertijd. De `x`-as wijst naar een vaste ster. De positie van Mars gezien vanaf Aarde wordt dan alleen bepaald door de richting van de vector `vec(AM)` t.o.v. de `x`-richting. Omdat de vaste sterren heel ver weg staan is de `x`-richting op elke plaats (ongeveer) de richting naar dezelfde vaste ster. De (zwarte) vector `vec(AM)` is de verschilvector van de beide plaatsvectoren van Aarde en van Mars. Beweeg de tijd met de pijltjestoetsen (eerst klikken op het bolletje en dan de pijltjestoetsen gebruiken). Valt je iets op aan de beweging van die vector?
Kijk je vanaf Aarde naar Mars, dan kun je net doen alsof de Aarde stilstaat. In de applet hieronder stelt punt `A_v` de vaste Aarde voor, `M_v` is de beweging van M als eindpunt van vector `vec(AM)`. Voor de duidelijkheid zijn de assen nu weggelaten, je weet wel waar ze zitten… Bekijk hoe de beweging van Mars, gezien vanuit Aarde, er uit ziet door het punt op de tijdbalk te bewegen. Als het goed is zie je lussen in de baan van Mars gezien vanaf een stilstaande Aarde.
Als je vanuit de Aarde kijkt, lijkt het dus alsof Mars het éne interval een bepaalde kant op beweegt, maar een ander interval een andere kant op beweegt. Dat noem je de retrograde beweging van Mars, gezien vanuit een stilstaande Aarde. Maar voor de positie van Mars als je kijkt vanaf de Aarde is de lengte van vector `vec(AM)` niet belangrijk, het gaat om de richting ervan, dus om kijkhoek `kappa`, de hoek tussen `vec(AM)` en de `x`-as. Kun je nu iets zeggen over welke waarden `kappa` aanneemt? Met de applet hieronder kun je een grafiek schetsen van `kappa` als functie van de tijd `t`. De retrograde beweging komt dan duidelijk in beeld: op bepaalde momenten wordt de kijkhoek niet meer groter, maar een tijdje weer kleiner en daarna weer groter.
In de applets verspringt de tijd in stappen van `0,01` jaar. Dit maakt dat je niet per dag kunt kijken wat er gebeurt. Het wordt tijd om het geheel met formules te gaan beschrijven om daaruit nauwkeuriger te kunnen afleiden hoe het zit met het verloop van de kijkhoek `kappa` afhankelijk van de tijd `t`.
Je hebt hiervoor al de plaatsvectoren van Aarde en Mars gezien. Dit betekent voor de verschilvector `vec(AM) = (x(t), y(t)) = (1,52 cos((2pi)/(1,88) t) - cos(2pi t); 1,52sin((2pi)/(1,88) t) - sin(2pi t))`. En voor de kijkhoek geldt: `tan(kappa) = (1,52sin((2pi)/(1,88) t) - sin(2pi t))/(1,52 cos((2pi)/(1,88) t) - cos(2pi t))`.
Je hebt een formule gemaakt van de vorm `tan(kappa) = f(t)`. De momenten waarop de retrograde beweging van Mars begint, dan wel stopt, zijn de tijdstippen waarop de hoek `kappa` (lokale) maxima en minima heeft. Op deze tijdstippen heeft ook `tan(kappa) = f(t)` extreme waarden. Die tijdstippen zijn met differentiëren te vinden. Laat zien dat uit `f’(t) = 0` volgt: `cos(((2pi)/(1,88) - 2pi)*t) = (1,52^2 + 1,88)/(1,52*(1,88 + 1))`. Je moet dus oplossen `cos(((2pi)/(1,88) - 2pi)*t) ~~ 0,957`. En dit geeft `t ~~ 0,100 + k*2,136 vv t ~~ 2,037 + k*2,136`. In de applet kun je nagaan dat deze waarden voor `t` overeenkomen met de tijdstippen waar de (lokale) minima en maxima van de kijkhoek `kappa` voor komen. De bijbehorende kijkhoeken kun je berekenen door deze waarden in te vullen in `f(t) = tan(kappa)`.
Omdat Aarde en Mars een verschillende omlooptijd hebben varieert hun onderlinge afstand nogal. Soms zit Mars aan de andere kant van de zon en soms zitten beide planeten relatief dicht bij elkaar. Als Aarde en Mars het dichtst bij elkaar zijn, is Mars ook meteen de dichtstbijzijnde planeet van de Aarde. En dus zijn we er nieuwsgierig naar, de rode planeet lijkt dan heel goed bereikbaar.
Je wilt een ruimtesonde naar Mars sturen op het moment dat de afstand tot de Aarde minimaal is. Op welke momenten is Mars zo dicht mogelijk bij de Aarde en hoe groot is die afstand dan?
De afstand Aarde - Mars is in ons vereenvoudigde model de lengte van de verschilvector `vec(AM) = (x(t), y(t)) = (1,52 cos((2pi)/(1,88) t) - cos(2pi t); 1,52sin((2pi)/(1,88) t) - sin(2pi t))`. Die lengte is `|vec(AM)| = sqrt((1,52 cos((2pi)/(1,88) t) - cos(2pi t))^2 + (1,52sin((2pi)/(1,88) t) - sin(2pi t))^2) = L(t)`.
Met behulp van de gonioformules kun je dit herleiden naar: `L(t) = sqrt(1,52^2 + 1^2 - 2*1,52*cos((2pi)/(1,88) t - 2pi t))`. En verder naar `L(t) ~~ sqrt(3,31 - 3,04cos(2,94 t))`. De bijbehorende grafiek kun je met de applet hieronder in beeld brengen.
De stapgrootte in de applet is vrij grof, maar de tijdstippen waarop de maximale en de minimale afstanden optreden zijn eenvoudig te berekenen. Je hoeft alleen maar te kijken voor welke waarden van `t` de uitdrukking `a(t) = 3,31 - 3,04cos(2,94 t)` maxima en minima heeft. Omdat dit een standaardsinusoïde is met amplitude `3,04`, periode `(2pi)/(2,94)` en evenwichtslijn `y = 3,31`, kun je vaststellen, dat:
Die minimale en maximale waarden zijn natuurlijk logisch: de baan van de Aarde heeft een straal van `1` AE en die van Mars van `1,52` AE, dus de minimale afstand is `1,52 - 1 = 0,52` als ze beide recht achter elkaar aan de zelfde kant van de Zon staan en de maximale afstand is `1,52 + 1 = 2,52` als ze beide recht tegenover elkaar aan weerszijden van de Zon staan. Kennelijk treedt de minimale afstand eens in de `2,24` jaar op.
Er zijn nog meer planeten in ons zonnestelsel. Gezien vanaf de Zon zijn er: Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus en Pluto. Je kunt je afvragen of die gezien vanuit de Aarde ook zo'n retrograde beweging kennen en hoe die dan verloopt. De benodigde gegevens kun je gemakkelijk op Wikipedia vinden.
Math4all
Links naar andere sites over dit onderwerp:
» Over Mars in de Wikipedia » Over Mars in Sterrenkunde.nl » Over ons zonnestelsel in de Wikipedia » Over planeten in de Wikipedia » Cavendish experiment (engelstalig)
Enige voorkennis op het gebied van vlakke krommen, zoals die voorkomt bij vwo wiskunde D, is nuttig. En verder is kennis nodig van goniometrische functies, zoals de verschillende gonioformules en het differentiëren van dergelijk functies.
Ik wil mij aanmelden voor:
