Rekenen met breuken

Breuken

Een "breuk" is een verhouding van twee gehele getallen, tenminste zolang er geen variabelen in voorkomen. Vooralsnog is dat ook het uitgangspunt. Ook de negatieve getallen en `0` worden in het begin nog even niet gebruikt in breuken.

Om met breuken te leren rekenen is het nuttig om het object "breuk" los te koppelen van de bewerking "delen". Dat doe je door breuken - zeker in het begin - weer te geven in figuren, maar ook door verschillende schrijfwijzen voor object en actie te gebruiken. Kinderen kunnen dit verschil al zien: een kwart boterham is een object, een boterham in vieren delen een actie. (Toch kun je het object wel zien als een gevolg van een mogelijke actie.)

• De breuk `2/3` kun je goed weergeven als een in drieën verdeelde rechthoek, waarvan twee delen zijn gekleurd. (Een cirkelverdeling is ook wel te gebruiken, maar zeker bij lastige breuken is de verdeling minder goed te zien. En dit is minder bruikbaar bij vermenigvuldigen van breuken.)
• De breuk `2/3` geef je weer met een horizontale breukstreep. Voor het delen van `2` door `3` gebruik je een deelteken, zoals: `2 // 3` of `2 -: 3`. (Maar liever niet `2 : 3`, want die dubbele punt is al een gewoon leesteken.)

Houd die schrijfwijzen zo goed mogelijk uit elkaar.
Dat betekent dat `2/3` gedeeld door `1/4` moet worden geschreven als `2/3 // 1/4` en liever niet als `(2/3)/(1/4)`.
Hoewel die laatste vorm wel voorkomt als er sprake is van breuken waarvan teller en noemer alle reële getallen kunnen hebben. Want wiskundigen zijn net mensen, niet erg consequent in notaties. Maar - zeker in het begin van het aanleren van het rekenen met breuken - is het uit elkaar kunnen houden van de breuk (als object) en de deling (als bewerking) nuttig.

Een ander notatieprobleem vind je bij "samengestelde breuken".
In Nederland schrijf je `4/3` vaak als `1 1/3` en dan laat je een plusteken zomaar weg: `4/3 = 3/3 + 1/3 = 1 + 1/3`.
Eigenlijk is in de wiskunde afgesproken dat je alleen maaltekens soms mag weglaten, namelijk als je met variabelen werkt, maar plustekens nooit. Helaas hebben tegenwoordige rekenmachines vaak "breukentoetsen", zodat het invoeren van `1 1/3` mogelijk is zonder het plusteken te gebruiken. Het risico is dat mensen niet meer begrijpen dat `1 1/3 = 1 + 1/3`. Ik zou zeggen: schaf die samengestelde breuken af en blijf gewoon het plusteken gebruiken.

 

 

 

Breuken en decimale getallen

Als je breuken wilt omzetten naar decimale getallen, stel je vast dat een deling als `2 // 3` twee objecten als uikomst heeft: de breuk `2/3` en het decimale getal `0,66666...`.
Deze twee objecten zijn daarom hetzelfde:

`2/3 = 0,66666... = 0,ul(6)`

Hier kun je mooi ingaan op de problemen met het omzetten naar decimale getallen:

• Het omzetten gaat in veel gevallen alleen door middel van een staartdeling, of je moet je kunnen omgaan met de beperkingen van de rekenmachine.
• Er zijn breuken die alleen kunnen worden omgezet in decimale getallen met oneindig veel decimalen. Weliswaar gaan die decimalen zich dan herhalen, maar toch.

Nu is het wel zo, dat in de praktijk een benadering in een stuk of wat decimalen wel voldoende is. Voor veel mensen is dat daarom ook wel goed genoeg. Maar het benoemen van deze problemen bevordert wel het begrijpen van de redenen waarom we tijd stoppen in het rekenen met breuken.

 

 

 

Breuken vergelijken

Eén van de eerste zaken die bij breuken voorbij komt is het vergelijken ervan: wat is meer `2/3` of `3/4`?

Nu is van belang het besef dat het gaat om het vergelijken van `2/3` deel van een rechthoek met `3/4` deel van dezelfde rechthoek. Dus dat moet ook zo in beeld komen.

Om het belang van gelijknamig maken duidelijk te krijgen kun je het beste breuken vergelijken die "dicht bij elkaar liggen". Bij deze breuken is het gelijknamig maken niet erg nodig als je ze nauwkeurig tekent, je ziet dan aan de figuur wel welke de grootste is.
Maar het verschil tussen bijvoorbeeld `4/7` en `3/5` is al minder goed te zien, dan wordt gelijknamig maken belangrijker.

Ook is het goed om te laten zien dat dat je breuken ook kunt vergelijken door ze om te zetten in decimale getallen.
Dan kun je altijd zien welke van beide het grootste is. En vaak is een benadering in niet al te veel decimalen al genoeg.

Een bijkomend aspect van gelijknamig maken is ook dat soms verschillende breuken dezelfde waarde hebben: `2/3 = 8/12`.
Omgekeerd betekent dit dat je soms breuken met grote getallen kun "vereenvoudigen": `8/12 = 4/6 = 2/3`.
De breuk blijft even groot, maar wordt eenvoudiger omdat er kleinere getallen nodig zijn.

Het is zaak ervoor te zorgen dat deze begrippen voldoende aandacht krijgen, niet alleen rekentechnisch (teller en noemer door hetzelfde getal delen of met hetzelfde getal vermenigvuldigen), maar ook visueel.

 

 

 

Rekenen met breuken

Bij het leren rekenen met breuken zijn plaatjes zoals die bij breuken vergelijken onontbeerlijk.

Breuken optellen en aftrekken

Kort gezegd: je kunt alleen breuken optellen en aftrekken als ze gelijknamig zijn (gemaakt).

Hier zie je `3/4 + 2/3 = 9/12 + 8/12 = 17/12 = 1 + 5/12` uitgebeeld.
Bijzonder is dat dit als voorbeeld nog meteen lastig is, want waarom lees je het resultaat niet als `17/24`? (Er zijn toch `17` van de `24` vakjes gekleurd.) Je moet dan echt toelichten dat de totale balk (van `12` vakjes) de "eenheid" is. Misschien ook even een voorbeeld ernaast zetten waarbij deze mogelijke verwarring niet kan optreden, zoals `1/3 + 1/4` optellen.

De aftrekking `3/4 - 2/3 = 9/12 - 8/12 = 1/12` zie je ook uitgebeeld.

Breuken delen

Bij het delen van breuken kun je ook het beste werken met breuken die gelijknamig zijn (gemaakt).

Dit voorkomt het gebruiken van de truc "Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde".
Deze handigheid kun je eigenlijk alleen gebruiken als het begrip "omgekeerde" duidelijk is. En dat heeft te maken met inverse bewerkingen en past in een veel abstracter begrippenkader. En dan heb je het over een begrippenkader dat eigenlijk in het hele voortgezet onderwijs niet expliciet wordt aangebracht, maar alleen wordt gebruikt als dat zo uitkomt. In feite hoort dit bij de opzet van de rekenkunde (en algebra) die pas na de axioma's van Peano gestalte kreeg.

Breuken delen kan prima zonder die abstracte begrippen, maar gewoon door gelijknamig maken. Dat is ook veel intuïtiever.

Bijvoorbeeld: `3/4 // 2/3 = 9/12 // 8/12 = 9 // 8 = 9/8`.

Een plaatje zoals dat bij "Breuken vergelijken", maakt meteen duidelijk dat beide breuken zich verhouden als `9` vakjes tot `8` dezelfde vakjes. Daar zijn geen trucjes voor nodig.

Breuken vermenigvuldigen

Bij het vermenigvuldigen van breuken is als enige het gelijknamig maken niet nuttig, eerder lastig.

Omdat `3/4 xx 2/3` eigenlijk `3/4` deel van `2/3` deel betekent, moet je nu een verdeling in drieën (waarvan je `2` delen kleurt) nog eens in vieren (waarvan je `3` delen kleurt) delen.
Dan ligt het voor de hand om een rechthoekje in twee richtingen te verdelen. Waar je bij het vergelijken van breuken - en dus ook bij optellen, aftrekken en delen - nog kon volstaan met alleen een horizontale verdeling (eigenlijk was een lijstuk genoeg geweest), heb je nu ook een verticale verdeling nodig.

Dus `3/4 xx 2/3` krijg je in beeld door horizontaal in drieën en verticaal in vieren te verdelen.

Het dubbel gekleurde deel is `3/4 xx 2/3 = 6/12`, te vereenvoudigen tot `1/2`.

Het gebruik van handigheden als "teller keer teller en noemer keer noemer" moet echt worden uitgesteld.
Eerst een flink aantal plaatjes van rechthoeken voorbij laten komen om het begrip goed te laten binnenkomen.

 

 

 

Conclusie

Altijd heb je als docent de taak om de begrippen en technieken die je wilt aanleren zo inzichtelijk mogelijk te maken. Het visuele aspect moet daarbij nooit worden onderschat.

Voor het aanleren van het rekenen met breuken is dat zeker van groot belang. Op eenvoudige plaatjes zoals je die hiervoor ziet, kun je altijd terugvallen. Trucjes blijven misschien wel in het hoofd zitten, maar zijn vrijwel nooit gestoeld op enig begrip. Zaken als "vermenigvuldigen met het omgekeerde" kun je daarom mijns inziens pas vermelden bij bijvoorbeeld wiskunde B in de bovenbouw, als je algebraïsch kunt aantonen dat dit werkt via

`a/b // c/d = (ad)/(bd) // (bc)/(bd) = ad // bc = (ad)/(bc) = a/b * d/c`.

Pas dan heeft het echt zin om over het omgekeerde van een breuk te praten als begrip.

Verder lijkt door het inzetten van rekenmachines - die tegenwoordig bijna allemaal breukentoetsen hebben - het leren rekenen met breuken voor veel mensen niet meer dan het intoetsen van de juiste knoppen. Begrip erachter ontbreekt dan meestal. En daar heb je dan, als je er achter komt dat algebraïsche vaardigheden voor verdere studie nuttig zijn, later last van. Ook werkt het gebruiken van breukentoetsen het onhandige gepruts met samengestelde breuken (en het onterecht weglaten van het plusteken daarin) in de hand. Ik heb echt gezien hoe leerlingen in de hogere klassen ineens `1 2/3` gingen intoetsen (zonder breukentoets) als 1 2/3 en verbaasd waren dat de rekenmachine daar gewoon `4` van maakte. Of - nog pijnlijker - niet eens verbaasd waren...

 

 

 

---

Math4all