Ramanujan

De tijd van Ramanujan

Brits-Indië of Brits-India was een Britse kolonie tot 1947. Deze kolonie besloeg het gebied dat de huidige landen India, Pakistan, Bangladesh en Sri Lanka voorheen Ceylon was een aparte kroonkolonie.
Vanaf 1876 regeerde de Engelse koningin Victoria deze kolonie niet meer als koningin van Engeland en het Britse Rijk, maar nam zij ook de titel Keizerin van India aan. Men spreekt van 1876 tot 1947 dan ook wel van het Keizerrijk India. Victoria regeerde overigens niet zelf, maar een Onderkoning opereerde als haar plaatsvervanger. Deze maakte op zijn beurt weer gebruik van de macht van Indiase adel (denk aan Raja's en Maharadja's). Door deze samenwerking lukte het de Britten het grote India onder controle te krijgen, iets wat zonder de 'vriendschap' met de Indiase adel waarschijnlijk nooit was gelukt.
In deze periode was Brits-Indië een land waar grote verdeeldheid heerste. Dat kwam doordat de Britten de gebruiken van de Indiërs niet accepteerden. Deze waren namelijk vrijwel allemaal hindoe of moslim. De Britse Christenen lokten veel onrust uit door bijvoorbeeld heilige koeien te slachten en onreine dieren te eten. Daardoor wilden veel Indiërs dat de Britten vertrokken. Dat lukte echter pas na de Tweede Wereldoorlog onder druk van de gweldloze opstand van Mahatma Ghandi en Jawaharlal Nehru.

Ramanujan leefde in deze koloniale tijd. Dat hij op zeker moment contact zocht met Britse wiskundigen is dus niet zo verwonderlijk...

 

 

 

Over Ramanujan

Slechts met behulp van een paar waardeloze wiskundeboeken ontwikkelde Srinivasa Ramanujan schijnbaar moeiteloos formules waarvan geleerde professoren alleen maar konden dromen. Hij was zo bezeten van rekenen dat hij er overal en altijd mee doorging: 's nachts, tijdens het eten en zelfs op zijn sterfbed. Het geniale werk dat hij naliet, zou alleen door een nieuwe Ramanujan helemaal begrepen kunnen worden. Het was een grauwe winterdag. Buiten, op het plein van het Trinity College in Cambridge, spoedden de studenten zich door de sneeuw naar de collegezalen, terwijl binnen, bij het haardvuur, de beroemde Engelse wiskundige Godfrey Harold Hardy zijn ochtendpost bekeek. Zoals iedereen bekeek Hardy eerst de enveloppen alvorens ze te openen. Eén ervan viel op door zijn frankering. Hij kwam uit India en was afgestempeld in Madras, op 16 januari 1913. Hardy opende de enveloppe en ontcijferde een onhandig schoolschrift. "Geachte heer," luidde de aanhef. "Gaarne zou ik mij bij u willen introduceren als een klerk die werkt op de boekhouding van het Port Trust Office in Madras voor een jaarsalaris van 20 pond. Ik ben 23 jaar oud en heb geen universitaire opleiding genoten. In mijn vrije tijd heb ik mij bezig gehouden met wiskunde. Ik ben daarin mijn eigen weg gegaan. Ik verrichtte een speciaal onderzoek naar divergente series, en mijn resultaten waren volgens wiskundigen hier 'verbazingwekkend'. Ik zou u willen verzoeken de bijgevoegde berekeningen na te gaan en - als er iets van waarde bij mocht zijn - ze gepubliceerd te krijgen. Omdat ik daarin geen ervaring heb, zou ik het zeer op prijs stellen als u mij daarover zoudt willen adviseren. Hoogachtend, S. Ramanujan."

"Alweer zo'n gek, die denkt dat hij iets nieuws heeft uitgevonden," dacht Hardy (zie foto hiernaast), en wilde de brief opzij leggen. Onwillekeurig echter dwaalde hij door de pagina's met mathematische symbolen. Verrast nam hij kennis van de formules en de stellingen. Sommige brachten een lichte schok van herkenning teweeg, omdat hij zelf al tevergeefs had geprobeerd ze te bewijzen. Andere kon hij slechts met de grootste moeite thuisbrengen. "Als de schrijver van de brief een gek is, is hij in ieder geval een bijzondere gek," beschreef Hardy later zijn gedachten. Hij besloot de berekeningen later nog eens te bekijken. Inmiddels was het tijd geworden voor zijn college. Hardy deed zijn toga om en spoedde zich naar de collegezaal. Toen Hardy na afloop van zijn werkzaamheden terugliep naar zijn kamers, kwam de inhoud van de brief hem weer voor de geest. Ongebruikelijke formules, plus enkele bekende, die echter in een nieuwe vorm waren gegoten. Het was een bonte mengelmoes. 's Avonds, tijdens de maaltijd met de overige lectoren en professoren, toonde Hardy de brief aan iedereen die maar naar hem wilde luisteren. "Deze man is ofwel gek, ofwel een genie," riep Hardy telkens uit, zwaaiend met de enveloppe. Dat wekte de belangstelling van John Littlewood, een collega-wiskundige. Beiden besloten de brief gezamenlijk door te nemen. Hardy en Littlewood trokken zich terug in de lege schaakkamer. Twee en een half uur later kwamen ze naar buiten met de uitslag. De schrijver was een genie!
Hardy ging zich ogenblikkelijk beijveren om dit wiskundewonder naar Engeland te halen. Srinivasa Aiyangar Ramanujan, zoals de briefschrijver voluit heette, was op 22 december 1887 geboren in Erode, 300 km ten zuidwesten van Madras. Zijn ouders waren brahmanen en behoorden dus tot de hoogste hindoe-kaste. Zij waren echter zeer arm. Zowel zijn grootvader als zijn vader konden zich maar net het hoofd boven water houden door in de nabij gelegen stad Kumbakonam te werken als kantoorbedienden voor een handelaar in stoffen.

 

Ramanujan was al vroeg begaafd. Na twee jaar basisschool, won hij op 7-jarige leeftijd een beurs voor de middelbare school in Kumbakonam. Daar verbaasde hij zijn docenten door zijn kennis van wiskundige formules en onfeilbare geheugen voor getallen. Onder andere kende hij zeer veel decimalen van het getal $\pi$.

 

Op 12-jarige leeftijd leende Ramanujan een wiskundeboek van een van de oudere leerlingen en las dat in één adem uit. Het boek was weliswaar sterk verouderd. Maar toch raakte hij erdoor bekend met begrippen als logaritmen, complexe getallen en oneindige rijen. Drie jaar later leende hij uit de bibliotheek nog een wiskundeboek. Het was de "Synopsis of Elemementary Results in Pure Mathematics" van G.S. Carr. Carr's boek was eigenlijk nog slechter. Het was geen echt leerboek, maar slechts een opsomming van vraagstukken die hij met zijn studenten had behandeld. Het boek bevatte zesduizend stellingen, die echter nergens werden afgeleid. Dit vormde echter geen enkel probleem voor Ramanujan. Hij werd er juist door geïnspireerd die stellingen zelf te gaan bewijzen.
Het boek van Carr veranderde Ramanujans denken en zijn leven. In hetzelfde jaar won hij een beurs voor het Government College in Kumbakonam. Daar zakte hij echter voor zijn propedeutisch examen, omdat hij alleen nog maar bezig was de zesduizend stellingen te bewijzen. Andere vakken dan wiskunde had hij totaal verwaarloosd. Daarna probeerde hij het aan de universiteit van Madras, maar was er evenmin succesvol. Hierop keerde hij terug naar het college in Kumbakonam, waar hij andermaal zakte. De jaren daarop had hij geen beroep, maar verdiepte zich de hele dag in zijn berekeningen.

 

In 1909, toen hij 22 jaar oud was, werd Ramanujan uitgehuwelijkt aan de 9-jarige Srimathi Janaki. Nu moest hij niet alleen zichzelf, maar ook zijn vrouw zien te onderhouden. Hij nam een baan aan als klerk op het Madras Port Trust Office. Te arm om zelf papier te kopen, verzamelde hij daar tijdens kantoortijd overtollig pakpapier, en nam dat mee naar huis voor het opschrijven van zijn berekeningen. Zijn vrouw Janaki vertelde later dat hij in die tijd zo in beslag werd genomen door de wiskunde, dat hij niet eens stopte tijdens het eten. Zowel zij als zijn moeder voerden hem, zodat hij ook aan tafel door kon gaan met rekenen. Vervolgens lag hij tot diep in de nacht op zijn buik op de veranda, een lei volschrijvend met formules, die hij daarna met zijn elleboog weer uitveegde. Om zo min mogelijk kostbaar papier te verspillen, schreef hij alleen de eindresultaten op in een notitieboek.

 

De directeur en de manager van het kantoor waar Ramanujan werkte, waren allebei ingenieur. Zij moeten hebben doorgehad welk talent er achter hun klerk schuilging. Beiden moedigden hem namelijk aan zijn berekeningen naar Engelse wiskundigen te sturen. Die konden hem wellicht verder helpen. Eerst schreef Ramanujan naar de wiskundigen H.F. Baker en E.W. Hobson van de Cambridge-universiteit. Beiden stuurden zijn brieven zonder commentaar terug. Toen, op 16 januari 1913, schreef hij zijn brief naar Hardy.
Hardy verspilde geen moment. Toen hij er eenmaal van was overtuigd dat 'deze Indiase klerk een wiskundige van het hoogste niveau was', schreef hij hem ogenblikkelijk terug om hem aan te moedigen. Ramanujan was diep ontroerd. "Ik heb in u een vriend gevonden die mijn werk waardeert," antwoordde hij per kerende post. "Ga mijn resultaten na, en als die overeenkomen met de uwe, dan zult u zien dat er waarheid schuilt in mijn berekeningen. Om mijn hersenen op peil te houden heb ik echter voedsel nodig en dat is momenteel mijn grootste zorg. Een aanbevelingsbrief van u zou mij kunnen helpen aan een beurs van de universiteit of van de regering."
Hardy had dat al gedaan. Dezelfde dag dat hij Ramanujan schreef, was hij in contact getreden met het secretariaat voor Indiase studenten in Londen, Kon deze instelling bemiddelen in Ramanujans overkomst naar Engeland? Via de universiteit van Madras kwam het antwoord dat Ramanujan India niet wilde verlaten. Voor een brahmaan zou het verlaten van zijn land kaste-verlies betekenen. Het 'Cambridge-netwerk' werkte vervolgens op volle toeren. G.T. Walker, een andere wiskundige van het Trinity College, bezocht Madras en pleitte daar bij de universiteit voor een beurs voor Ramanujan. Die werd hem toegekend. Voor het eerst in zijn leven was Ramanujan nu in staat om zich zonder geldzorgen aan de wiskunde te wijden.

 

Hardy gaf het echter ook niet op. Hij bleef uitnodigingen sturen en verzocht nog een wiskundige die op reis ging naar India Ramanujan over te halen. Die begon nu te twijfelen. Het belangrijkste obstakel was echter zijn dominante moeder. Toen, op een ochtend, verklaarde zijn moeder dat de godin Namagiri haar in een droom was verschenen. Zij had haar bevolen haar zoon niet in de weg te staan.
In het voorjaar van 1914 zeilde Ramanujan naar Engeland. In april kwam hij aan op het Trinity College. Daar werd hij begeleid door Hardy en Littlewood en publiceerde 21 artikelen in wetenschappelijke tijdschriften. De artikelen waren ongeëvenaard briljant. In 1917 werd Ramanujan dan ook verkozen tot "Fellow of the Royal Society'" Hij was de eerste Indiër die lid werd van dit prestigieuze genootschap. Daarna werd hij ook benoemd als 'Fellow' van het Trinity College.
In de tussentijd sloopte het verblijf in Engeland Ramanujan's gezondheid. Omdat zijn vrouw was achtergebleven in India, was er niemand die er voor zorgde dat hij regelmatig at en sliep. Soms werkte hij 24 tot 36 uur achter elkaar. Daarna stortte hij in en sliep dan een halve dag. Hij was ook een strikte vegetariër. Dat ondermijnde hem nog verder. Engeland was namelijk in oorlog en goed vegetarisch voedsel was nauwelijks te verkrijgen.

 

In mei 1917 werd Ramanujan ernstig ziek. In die tijd dacht men aan tuberculose, maar tegenwoordig vermoedt men door een vitamine B-12 tekort. Hij werd opgenomen in verscheidene verpleegtehuizen en sanatoria, maar ging ook daar door met rekenen. Hardy bezocht hem eens met een taxi en merkte aan het ziekbed op dat het nummer van de auto oninteressant was geweest: 1729, ofwel $7\times 13\times 19$. "Nee, dat is juist een heel interessant getal," moet Ramanujan toen hebben opgemerkt. "Het is het kleinste getal dat op twee manieren kan worden uitgedrukt als een som van twee derde machten. Het is de som van $1\times 1\times 1$ en $12\times 12\times 12$, en ook van $9\times 9\times 9$ en $10\times 10\times 10$."

 

Omdat zijn gezondheid niet verbeterde, werd hem aangeraden het dampige, Engelse klimaat te verlaten en terug te keren naar India. De universiteit van Madras bood hem baan met uitzicht op een hoogleraarschap. In april 1919 keerde Ramanujan verzwakt terug naar zijn vaderland. Nog een jaar kwijnde hij daar verder, zich volledig wijdend aan zijn formules. Op 26 april 1920 stierf hij, volledig uitgeput. Hij was toen slechts 32 jaar oud.

Na Ramanujans dood schreef Hardy over hem: "Hij zou waarschijnlijk een nog grotere wiskundige zijn geworden als hij in zijn jeugd beter was begeleid. Maar aan de andere kant zou hij dan minder een Ramanujan zijn geweest en meer een Europese professor. Het verlies was vermoedelijk groter geweest dan de winst."

 

 

 

Ramanujan's verloren notitieboek

Het werk van Ramanujan's laatste levensjaar, 130 ongenummerde pagina's vol formules, kwam terecht in de bibliotheek van het Trinity College in Cambridge, waar het werd opgeborgen tussen rekeningen en brieven. Dit 'verdwenen notitieboek' werd in 1976 teruggevonden door George Andrews, een wiskundige van de Pennsylvania State University.
Uit de bestudering van het verdwenen notitieboek is de laatste jaren gebleken dat Ramanujan zijn tijd tientallen jaren vooruit geweest. Richard Askey, van de universiteit van Wisconsin, die met Andrews samenwerkte in een poging iets van Ramanujans werk te begrijpen, zegt daarover: "Het werd van dat laatste jaar, toen Ramanujan stervende was, staat gelijk aan het levenswerk van een zéér groot wiskundige. Wat hij heeft gepresteerd is ongelofelijk. Als het in een roman zou zijn beschreven, zou niemand het geloven."
Ook Jonathan en Peter Borwein, van de Dalhousie-universiteit in Halifax, zijn die mening toegedaan. Jarenlang puzzelden zij door de volgekrabbelde pagina's van het notitieboek. Jonathan: "Op een gegeven moment begon Ramanujan vreemde dingen te ontdekken. Dat zijn dingen die we pas in onze tijd beginnen te begrijpen. Maar zijn gedachtegangen zijn zeer moeilijk te volgen, omdat Ramanujan het nooit nodig vond zijn stellingen te bewijzen. Klaarblijkelijk had hij zo'n gevoel voor formules, dat ze spontaan bij hem opborrelden. Misschien zag hij ze wel op een manier die voor niemand anders te volgen is."

 

 

In het bijzonder was Ramanujan verzot op sommaties van oneindige rijen van getallen. Een van zijn formules geeft de waarde van het getal $\pi$ zeer snel tot miljoenen cijfers achter de komma. "Het is de snelste sommatie voor $\pi$ die ik ken", zegt Peter Borwein. "Elke extra term in de sommatie levert acht nieuwe decimalen op van $\pi$." In 1985 werd met Ramanujans formule het getal $\pi$ door een computer berekend tot 17,5 miljoen cijfers achter de komma.

 

Ook is de laatste jaren gebleken dat Ramanujans werk aan zogenaamde "partitiefuncties" een diep theoretisch spoor heeft getrokken in de wis- en natuurkunde. Een partitiefunctie beschrijft bijvoorbeeld het aantal manieren waarop een getal kan worden geschreven als de som van kleinere (of gelijke) gehele getallen.
Het getal $4$ kan worden beschreven als $4$, als $3+1$ , als $2+2$, als $2+1+1$ en als $1+1+1+1$.
Het getal vier kent dus vijf partities.
Bij grotere getallen neemt het aantal partities tot ongekende waarden toe. Het getal $200$ kent bijvoorbeeld $397299029388$ partities. Ramanujan vond intuïtief diverse merkwaardige formules waarmee partitiefuncties zeer nauwkeurig konden worden beschreven. Tegenwoordig worden ze in de natuurkunde toegepast ter verklaring van het gedrag van helium dicht bij het absolute nulpunt, en in de recente supersnaar-theorieën.

 

In 1987, ter herdenking van Ramanujan's honderdste geboortejaar, kwamen wiskundigen uit de gehele wereld bij elkaar die zijn werk bestuderen. Daar was men unaniem van mening dat Srinivasa Ramanujan een "magisch genie" was, ter onderscheiding van een "gewoon genie". Een "gewoon genie" was in hun ogen een genie waarvan men kon zeggen "Oh ja, daaraan zou ik ook hebben gedacht als ik honderd keer slimmer was geweest." Een "magisch genie" daarentegen, is iemand waarvan men zou zeggen "Ik heb geen idee hoe hij aan zijn resultaten kwam."
Omdat Ramanujan veel te vroeg is gestorven, hopen veel onderzoekers dat zich ooit nog eens een nieuwe 'Ramanujan' voordoet. "Dat is de reden waarom ik altijd brieven lees die uit de meest obscure plaatsen komen en geschreven zijn in een onhandig schoolschrift," verklaarde Freeman Dyson van het Institute for Advanced Study in Princeton na afloop van het in 1987 gehouden congres. "Ik geef nooit de hoop op dat het een brief van een nieuwe 'Ramanujan' zal zijn."

 

 

 

---

Math4all - auteur: Fred Buijtendijk