In het gewone leven is bij Problemen Aanpakken de belangrijkste spelregel dat er geen regels zijn. Alles is in principe toegestaan om de problemen op te lossen, dus denk aan kijken hoe iemand anders het doet, samenwerken, spieken op internet, hulp inschakelen, … - zo lang je maar in staat bent het probleem inderdaad op te lossen. En dat bij voorkeur zonder al te veel gedoe, rommel, kosten en tijd.
Het gaat er in eerste instantie om dàt een probleem wordt opgelost en veel minder hòe – zolang je maar zeker weet dat het echt is opgelost. Een probleem drie keer fout oplossen en daarna goed is een goed opgelost probleem. De spreekwoordelijke IKEA kast die staat is okay ook al heeft het een paar pogingen gekost om dat voor elkaar te krijgen. Pas als je heel vergelijkbare problemen moet oplossen wordt de elegantie, beknoptheid of kortste weg, kortom het zoeken naar een adequate oplossing van het probleem, belangrijker. Maar, de meeste soorten problemen hoef je niet keer op keer opnieuw op te lossen, behalve misschien tijdens de wiskundeles… De meest oninteressante problemen zijn de problemen waarvoor een algemene oplossing bestaat. Wie verloor niet elke interesse om boter, kaas en eieren te spelen? En waardoor?
Met dit soort overwegingen in gedachten is ooit een module "Problemen Aanpakken" op de wiskunde lerarenopleiding bij de Saxion Hogeschool opgezet. Inderdaad, rondom het aanpakken van "problemen".
Veel problemen uit die module zou je kunnen omschrijven als: één manier van oplossen zie je zo, maar die is veel te bewerkelijk om feitelijk uit te voeren. Dus knaagt het gevoel dat je toch iets zou moeten kunnen vinden waardoor dat eenvoudiger kan. Maar, één manier heb je sowieso al.
Andere problemen zijn van het soort dat je in eerste instantie juist geen idee hebt hoe en waar je zou moeten beginnen maar gaandeweg merk je dat er problemen zijn “die in je hoofd bleven ‘haken’”. Soms merk je dat je wakker wordt met een oplossing: “blijkbaar gaat je hoofd door met denken en broeden terwijl je slaapt”.
Overleg met anderen is voor bijna iedereen nuttig, “daardoor werd ik van een doodlopend pad gehaald” of “kwam ik op een spoor dat ik zelf nooit bedacht zou hebben”. Ander commentaar: “mooie discussies met elkaar”, “heel weekend met m’n vader hierop zitten puzzelen – erg gezellig”, “op mijn school aan collega’s voorgelegd en we hebben veel geleerd van elkaar”.
In het algemeen waren studenten verrast door het grote aantal gevonden oplossingen: “nooit gedacht dat ik zo ver zou komen – trots op mezelf”.
Dit is een (wiskunde-)onderwijservaring die je elke leerling zou gunnen, niet alleen studenten aan een lerarenopleiding. Het gefascineerd raken door een probleem, het (samen) zoeken naar een manier om er je vinger achter te krijgen en uiteindelijk het vinden van een oplossing. En dan blijkt achteraf dat de oplossing zelf helemaal niet zo interessant is, maar het oplossen juist wel. Het doel van de reis is het reizen.
Het lastige voor de docent is om vragen te bedenken/selecteren die voldoen aan enkele van deze criteria:
Veel van de problemen in "Problemen Aanpakken" zijn in principe ook te gebruiken als een probleem voor scholieren. Maar dan moet zo'n probleem misschien wat verkleind worden zodat het binnen een lesuur afgerond kan worden of het probleem kan expliciet als groepswerk worden aangeboden.
In het vervolg van dit verhaal bespreek ik een aantal problemen met een minimalistisch script dat je als docent in de klas zou kunnen gebruiken.
Inleidende vraag: "Op welk cijfer eindigt `1*2*3*4*… *1000` ?"
Dat zal voor de meeste leerlingen na even nadenken geen groot probleem zijn, maar wel een inzicht(je) opleveren. Je hoeft `1*2*3*4*… *1000` niet uitgerekend te hebben om over het antwoord verstandige dingen te kunnen zeggen.
Echte vervolgvraag: "Op hoeveel nullen eindigt `1*2*3*4*… *1000` ?"
Veel studenten/leerlingen zullen de rekenmachine pakken en een beginnetje, zoals `1*2*3*4*5*6*7*8=`, intikken, dat `*9=` enz. en dan zien dat het antwoord al snel groter wordt dan de rekenmachine exact kan weergeven. Je zult dus echt iets moeten bedenken om een antwoord te kunnen geven.
Typische probleem aanpak: probeer eerst eens een kleiner probleem op te lossen, zoals het aantal nullen van `1*2*3*4*...*10` om te zien of je iets van structuur ziet. Dat leidt als vanzelf tot de vraag: hoe ontstaat er een `0` in het antwoord? Met vermoedelijk, in eerste instantie, het correcte, maar onvolledige antwoord: bij elk `10`-tal. Na enige tijd ontstaat dan wel het idee dat je moet kijken naar de factoren en dat het aantal factoren `5` bepalend is. Zo evolueert het oplossen van het probleem tot het tellen van de factoren `5` en, tenslotte, hoe je dat aantal slim kunt tellen.
Een veel lastiger variant op dit probleem: "Hoeveel cijfers (ongeveer) heeft het antwoord van `1*2*3*4*… *1000` ?"
Als logaritmen aan bod geweest zijn, dan is met hulp daarvan relatief gemakkelijk een schatting te maken. De 10-log van een getal geeft een idee over het aantal cijfers: `log(10)=1` en `log (99)=1,995…`, `log(100)=2` en `log(999)=2,999…`, `log(1000)=3`, enz. Daaruit kun je het volgende concluderen. Een getal met `3` cijfers, zoals `427`, heeft dus een log tussen `2` en `3`. Een getal met `8` cijfers, zoals `76534987`, heeft dus een log tussen `7` en `8`. `log(1*2*3*…*999*1000)= log(1)+log(2)+log(3)+…+log(999)+log(1000)=...` Schatting: `9 * (text(gemiddeld)) 0,5 + 90 * (text(gemiddeld)) 1,5 + 900 * (text(gemiddeld)) 2,5 + 3 = 4,5 + 135 + 2250 + 3 = 2392,5` `1000!` heeft dus, pakweg `2393` cijfers. In werkelijkheid zijn de gemiddelden iets hoger dan ik hier gebruik: eerder `1,6` dan `1,5`, enz. Het feitelijke aantal cijfers ligt dan ook in de buurt van `2570` – exacter durf ik het niet te benoemen.
Stel je een rode, flexibele, halve getallenlijn voor (denk aan een lang, lang meetlint uit de naaidoos) die met de `0` wordt vast geprikt in de oorsprong van het blauwe puntenrooster. En stel je voor dat je die getallenlijn systematisch langs de roosterpunten legt, zoals het eerste stuk in het plaatje. De rode `0, 1, 2, 3, 4, 5,…` komen achtereenvolgens bij de roosterpunten `(0, 0)`, `(1, 0)`, `(1, 1)`, `(0, 1)`, `(text(-)1,1)`, … Dat levert een spiraalvormige patroon op, waarvan je een stukje in het volgende plaatje ziet.
Als je het goed doet komt de rode `31` bij punt `(2, 3)`.
Vragen: "Wat zijn de coördinaten van het roosterpunt in het assenstelsel waar de rode `200` van de getallenlijn bij komt te staan? En de rode `2000`?" En omgekeerd: "Welk rood getal staat bij roosterpunt `(20, 23)`?"
Aanpak: Vrijwel iedereen gaat een stukje verder met schrijven van de rode getallen langs de al getekende rechte rode lijn. En liefst nog verder! Als je getallen langs de positieve `x`-as bekijkt zie je `0`, `1`, `10`, `27`. Door naar de opeenvolgende verschillen te kijken krijg je `1`, `9`, `17` en neem je dan nogmaals de verschillen dan krijg je `8`, `8`. Een vast verschil? Regel gevonden? Dat zou betekenen dat de volgende waarde langs de `x`-as `(17+8) + 27 = 52` moet zijn. En dat kun je controleren door nog wat verder door te nummeren. Maar, begrijp je ook waarom het zo zou moeten zijn?
Alternatieve aanpak: Als je de rij rode getallen een stukje voortzet (en geen fouten maakt) kun je zien dat de `1`, `9`, `25`, ... allemaal op een rechte lijn liggen vanaf `(1, 0)` schuin naar beneden (dat is de lijn met vergelijking `x+y=1` of `y=text(-)x+1`). Dat zijn de punten die precies rechts naast de rechter onderste hoekpunten liggen van gepasseerde roostervierkanten met even zijden. De rode lijn passeert alle roosterpunten die in en op die vierkanten liggen. Dat aantal punten is respectievelijk `1`, `9` (`=3` rijtjes van `3` punten), `25` (`=5` rijtjes van `5` punten), .. roosterpunten. En inderdaad, de eerste `1` is `1` rijtje van `1` roosterpunten. Maar omdat de rode lijn begint te tellen vanaf `0` lopen de rode getallen eentje achter bij het aantal roosterpunten. Vandaar dat de `1`, `9`, `25`, ... bij het eerstvolgende roosterpunt terecht komen. Zo is voorspelbaar waar de rode `49`, `81` enz. terecht komen. En, belangrijker, je weet ook waarom die voorspelling zo moet zijn. Om te weten op welk roosterpunt de rode `2000` terecht komt moet je eerst het grootste oneven kwadraat kleiner dan `2000` zoeken. Nu is de wortel uit `2000` gelijk aan `44,7…` dus het grootste oneven kwadraat dat je zoekt is `43*43=1849`. De rode `1849` staat dus bij roosterpunt `(22, text(-)21)`. Nu is het nog even puzzelen om erachter te komen waar `2000` precies komt. Puzzelen, geen hogere wiskunde. Vergelijkbare aanpak: Kijk waar de rode `0`, `4`, `16` terecht komen en beredeneer waarom dat de even kwadraten moeten zijn.
Uitbreiding naar aftelbaarheid: De stap van het meetlint in het rooster naar de aftelbaarheid van de roosterpunten is niet groot. Aftelbaar betekent: als je maar lang genoeg doorgaat met het afrollen van het meetlint (in de veronderstelling dat het lint lang genoeg is) dan kom je elk roosterpunt een keer tegen. Er is dus een 1op1 afbeelding te bedenken tussen de getallen op de meetlint-getallenlijn en de roosterpunten. Bij elk getal op het meetlint hoort één roosterpunt en omgekeerd. Van beide zijn er oneindig veel maar het zijn er “even oneindig veel”. Intuïtief is dat natuurlijk nogal ingewikkeld omdat er veel, veel meer roosterpunten lijken te zijn dan gehele getallen op het oneindig lange meetlint. Oneindig is een complex begrip en dat is een understatement (en ook dàt is een understatement). Omdat elke breuk te schrijven is als een teller/noemer kun je alle breuken koppelen aan een roosterpunt: `3/7` koppel ik aan `(3, 7)` en `121/49` aan `(121, 49)`, enz. Dan zie je eenvoudig dat ook de rationele getallen aftelbaar zijn.
Didactische overwegingen: De startvraag (waar komt…) is voor de meeste leerlingen te overzien, zeker als je begint met de vraag waar `200` terecht komt. Dat is ook nog wel door ijverig uit te schrijven te vinden. De uitbreiding naar `2000` is heel geschikt voor veel leerlingen als het voorgaande redelijk soepel ging. De aspecten van aftelbaarheid zijn voor sommige leerlingen het toefje slagroom: oneindigheid is voor vrijwel iedereen een intrigerend concept. Zeker het idee dat er verschillende maten van oneindig zijn. Dat het aantal korrels zand op aarde niet oneindig is (aftelbaar maar wel ontelbaar). Dat de rationele getallen (de breuken) aftelbaar zijn, maar dat de reële getallen dat niet zijn. Dat laatste bewees Cantor via zijn beroemde diagonaalbewijs, dat voor hier te ver voert, maar neerkomt op het volgende: Als alle reële getallen aftelbaar zijn, dan kun je ze allemaal op een lange rij zetten, van `1` tot `oo` (oneindig). Cantor construeert vervolgens een reëel getal dat ongelijk is aan elk van de getallen uit die rij. En dus stonden ze er toch niet allemaal in. Het uitgangspunt “als alle reële getallen aftelbaar zijn” is dus onhoudbaar.
Vraag: "Deze ANWB-paal staat ergens in Nederland. Waar? Als je de precieze locatie vindt, dan kun je ook het nummer vinden dat iets lager op de paal staat. En dat wil ik weten." De vraag is complexer te maken door een deel van de tekst op de borden weg te snijden en zo het wegnummer en enkele plaatsnamen gedeeltelijk te verbergen:
Aanpak: Om het antwoord te vinden heb je enige vaardigheid nodig in Google-maps, enige oriëntatie op de kaart, het idee van `21` km vanaf Zwolle levert grofweg een cirkel, doorn en hem zou afkomstig kunnen zijn van de plaatsen … Enzovoorts. Maar vooral: enige algemene ontwikkeling en wat lef. Voor veel studenten was dit type vraag de eerste om mee aan de slag te gaan omdat die zonder al te veel wiskunde oplosbaar lijkt. De gevraagde nummers zijn overigens: 11892 | 15 N309-030 | P901
De Brink in Deventer is een van de grootste stadspleinen in Nederland. Op sommige dagen kan het daar erg druk zijn, zo druk dat je het gevoel hebt dat het plein helemaal vol is.
Vraag: "Hoeveel mensen passen er op de Brink, of, misschien nog interessanter: passen alle inwoners van Deventer op de Brink?"
Aanpak: Om die vraag te beantwoorden moet je in elk geval weten wat de vraag precies vraagt. Dus wie er allemaal redelijkerwijs gerekend kunnen worden tot inwoners van Deventer, en hoeveel dat er zijn, en hoe groot de Brink precies is. Dan komen kaarten lezen, plattegronden opmeten, afstanden schatten, handig met Google-Maps of een ander kaartenprogramma omgaan, goed uit. En een idee over hoeveel mensen er op een vierkante meter passen. Sommige studenten namen contact op met de gemeente om antwoorden op sommige van die vragen te krijgen. Dat is, op zichzelf, een zwaar onderschatte manier om aan antwoorden te komen: vraag het iemand die het weet of die meer weet.
Scholieren leren die manier vooral af: je bent in het onderwijs vooral op je eigen kennis aangewezen en, in noodgevallen, die van de docent. Maar als je iets niet weet het eenvoudigweg vragen aan iemand die het wel weet wordt niet serieus genomen, terwijl het de meest efficiënte manier is om ergens achter te komen. Dat veronderstelt wel dat je een idee hebt wie je kunt vertrouwen bij het beantwoorden van een vraag, of, hoe je kunt checken en double checken. En dàt zijn belangrijker en op veel meer terreinen inzetbare vaardigheden dan een willekeurig wiskundig weetje.
Wat leer je hiervan?
Ik noemde hiervoor al wat antwoorden die studenten gaven. Het leidt tot meer zelfvertrouwen, breder inzetbare vaardigheden, meer denken in termen van oplossingen dan problemen, het inzicht dat je samen meer kunt dan als individu. Dat vanuit een overleg betere, duidelijkere, breder gedragen oplossingen kunnen komen dan uit een eenpersoons koker. Dat problemen oplossen leuk is en je een kick kan geven, ook al is de weg erheen soms wazig en bochtig.
De belangrijkste valkuil voor de docent is de drang om snel in te grijpen, studenten/leerlingen niet te laten aanmodderen. Maar, daardoor ontneem je leerlingen de kans om zelf te ontdekken en dus ook dat belangrijke YES! gevoel van het zelf vinden. Een andere valkuil is natuurlijk dat een probleem dat je geeft te lastig is en niemand een oplossing vindt of een clou heeft hoe die een oplossing zou kunnen vinden. Dan is gedoseerd helpen wel een mogelijkheid, maar vaak is het al te laat – de animo is al ongeveer nul. In het voorbeeld van de getallenlijn in het rooster zou je in een veel eerder stadium kunnen al vragen naar wat de volgende is in de rij `0`, `8`, `24`, `48`, `80`, … Daarmee zet je een deel van een oplossingswijze alvast klaar, zonder dat, uiteraard, met zoveel woorden te melden. Oplossingswijzen zijn vaak stapelingen van oplossingen van deelproblemen.
Veel wiskundedocenten zijn wiskundedocent geworden omdat zij ooit goed waren in schoolwiskunde. Voor hen is het niet vanzelfsprekend om van dat vertrouwde pad af te wijken. In die ervaring ligt opgenomen: elk probleem heeft een oplossing die binnen een lesuur te vinden is (en vaak binnen een paar minuten). Je ziet dat terug in de neiging om elk probleem voor leerlingen op te splitsen in deelvragen a-j die als een soort kant en klaar maaltijd bereid moet worden. Die neiging zie je overigens vooral terug in veel schoolboeken. Jammer is dat, omdat je zoveel meer leert van vallen en opstaan, van "dit kan ik oplossen als ik wist hoeveel…, maar dat kan ik misschien wel vinden door…". Schoolwiskunde is vooral gericht op hoe je problemen oplost die al duizenden keren zijn opgelost en nauwelijks op puzzelen. Een goede puzzel is als een hersenwurm – naar analogie van een oorwurm – een vraag/probleem waar je over blijft nadenken omdat je het gevoel hebt dat je die moet kunnen beantwoorden maar alleen nog niet ziet hoe. Er zijn altijd kinderen die ‘slecht zijn’ in gewone schoolwiskunde maar die opbloeien bij sommige soorten puzzels. Die daar excelleren. Puzzelen bouwt aan zelfvertrouwen bij andere kinderen dan degenen die dat vaak al vaak ervaren hebben bij de reguliere opgaven. Van je blauwe plekken leer je het meest.
Het resultaat van goed onderwijs is niet het kennen van alle antwoorden, maar weten wat je vragen moet. Problemen sudderen door in je hoofd als je met andere dingen bezig bent, of slaapt. Het is goed een probleem weg te leggen en rijptijd te geven. “Grootste probleem van de wiskundedocent is om die onstuitbare uitlegklier af te remmen.”
Math4all Auteur: Jan Speelpenning
Links naar meer over dit onderwerp:
» Probleemaanpak Meer over "probleemaanpak" op de Math4allsite met nog een aantal andere problemen en voorbeelden. » Cut the knot (engelstalig)
Ik wil mij aanmelden voor:
