Praktische opdracht: Windenergie

Een praktische opdracht voor de tweede fase havo/vwo, wiskunde B en vwo wiskunde A/C

Bronnen:	De math4allsite voor de wiskundetheorie. Wikipedia over windenergie Het CBS > Cijfers > Kerncijfers > Energiebalans voor NL
Theorie:	Het begrip functie, domein en bereik, karakteristieken. Exponentiële groei en machtsfuncties.
Resultaat:	Leesbare uitwerking gemaakt in een tekstverwerker  Titelblad downloaden
Studielast:	4 uur

Al geruime tijd probeert men energie op te wekken met windkracht.
Dat gebeurt met windmolens.
Hoe groter de wieken van de windmolen, hoe groter het vermogen dat kan worden opgewekt. Hoe harder het waait (binnen bepaalde grenzen), hoe groter het opgewekte vermogen. Daarbij gelden formules van de vorm:

`P = c*v^3 * D^2`

Hierin is `P` het elektrische vermogen in Watt dat wordt opgewekt, `v` de windsnelheid in m/s (meter per seconde) en `D` de diameter van het cirkelvormige gebied dat de wieken bestrijken in m (meter). De letter `c` is een constante die afhangt van de windmolen.
Die formule is af te leiden uit de volgende aannames:

• Voor het vermogen geldt: `P = 1/2 mv^2`, waarin `m` de massa is van de lucht die per seconde stroomt door het cirkelvormige gebied dat de wieken bestrijken in kg.
• Die massa `m` is recht evenredig met de oppervlakte van dat cirkelvormige gebied en met de windsnelheid `v`.
• De voorgaande formules gelden alleen voor windsnelheden waarbij de molen gelijkmatig kan draaien.

Leid nu zelf de gegeven formule af. Beschrijf duidelijk hoe je dit doet.
Zoek vervolgens op welke windsnelheden voor Nederland gebruikelijk zijn. Neem aan dat voor een windmolen met wieken van `50` m die bij een gemiddelde windsnelheid een vermogen van `5` MW (MegaWatt) moet opleveren geldt `c = 18,6`. Van welke gemiddelde windsnelheid wordt dan uit gegaan? Welke waarden voor `P` zijn bij zo'n windmolen mogelijk? Maak grafieken van `P` als functie van `v` bij wieklengtes van `10`, `15`, `20`, `25`, `30` m.

Op 14 oktober 2000 meldde het DOWEC consortium (Dutch Offshore Wind Energy Converter) plannen om windmolens met een vermogen van `5` tot `6` MW op zee te willen installeren. Men stelde dat de Nederlandse wateren ruimte zouden bieden voor het opwekken van zo’n `330` TWh (`1` TeraWattuur `= 1000` GigaWattuur `= 10^6` MegaWattuur) per jaar aan windenergie.

• Hoeveel moet het gemiddelde totale vermogen bedragen om die `330` TWh per jaar te halen?
• Vanwege de sterk fluctuerende windsnelheden kan elke molen gemiddeld slechts ongeveer `20`% van zijn vermogen leveren. Licht dit toe.
• Hoeveel vermogen moet er (rekening houdend met die `20`%) dus beschikbaar zijn? En hoeveel windmolens zijn daarvoor nodig?
• Stel dat die molens wieken hebben met een lengte van `50` m. Welke gemiddelde windsnelheid is dan nodig om het gewenste vermogen van `6` MW te halen?
• Die molens moeten zeker `100` m van elkaar staan. Hoeveel oppervlakte aan zee is nodig voor een park windmolens dat die `330` TWh per jaar levert?

Natuurlijk kunnen er ook molens op het land worden gezet; dat gebeurt ook al. Vooral in de kustprovincies heeft dat effect omdat het daar meer waait dan in het binnenland. Probeer nu een verstandige schatting te maken van de hoeveelheid windenergie in GigaWatt die in Nederland door windenergie kan worden opgewekt.
Maak hierbij bijvoorbeeld gebruik van informatie in het artikel "Windenergie" in de Wikipedia.

Volgens het CBS (Centraal Bureau voor de Statistiek) was het Nederlandse binnenlandse energieverbruik in 1979 ongeveer `2924` PJ (PetaJoule, 1 PJ `~~ 278` GWh).
In 2008 bedroeg dit ongeveer `3322` PJ. En wellicht kun je bij het CBS recente gegevens vinden.

• Reken beide bedragen om naar MWh.
• Ga er van uit dat het Nederlandse energieverbruik met een (ongeveer) vast percentage per jaar toeneemt. Hoeveel bedraagt dat percentage dan op grond van de gegevens van het CBS?
• Hoeveel zal het energieverbruik in 2020 in Nederland ongeveer bedragen volgens dit groeimodel?

Door de gegevens van het CBS voor andere jaren ook te gebruiken kun je een nauwkeuriger groeimodel voor het binnenlandse energieverbruik in Nederland opstellen. (Bijvoorbeeld zou je kunnen concluderen dat een lineair groeimodel beter past, of de groeifactor van je exponentiële groeimodel nauwkeuriger vaststellen.) Zoek daartoe meer informatie op de site van het CBS (bij Cijfers > Kerncijfers) of zoek andere bronnen. Stel een zo realistisch mogelijk groeimodel op voor het binnenlandse energieverbruik.

Uitwerking:

• Leg de situatie uit en geef een verklaring van de formule voor het vermogen van een windmolen.
• Maak grafieken van het vermogen dat een windmolen kan leveren afhankelijk van de windsnelheid.
• Maak een zo goed mogelijke schatting van de totale hoeveelheid windenergie die in NL kan worden opgewekt.
• Ontwerp een groeimodel voor het binnenlandse energieverbruik van NL.
• Maak van dit alles een leesbare uitwerking.

Math4all