Poisson

De tijd van Poisson

Poisson leefde in Frankrijk in de tijd van de Franse Revolutie. Zijn vader had in zijn tijd in het leger het elkaar toeschuiven van baantjes door de adel meegemaakt en was bij het uitbreken van de revolutie al snel bij het nieuwe bestuur van het land betrokken. Hij kreeg de bestuurlijke leiding over het district Pithiviers (in centraal Frankrijk, ongeveer 80 km bezuiden Parijs).
Na het begin van de revolutie werd voor niet adellijke personen de toegang geopend tot allerlei beroepen die eerst waren voorbehouden aan de adel. Poisson werd daarom door zijn vader naar het École Central in Fontainebleau gestuurd om medicijnen te gaan studeren. Hij bleek daarvoor wegens zijn onhandigheid en door desinteresse niet geschikt, maar zijn vader gaf niet op en liet hem meer theoretische studies doen, waarbij zijn geschiktheid voor de wiskundestudie bleek. En zo kreeg hij de mogelijkheid om als niet-adellijk persoon toelatingsexamen voor de pas opgerichte École Polytechnique in Parijs te doen, waarvoor Poisson als beste slaagde.

In die tijd werkten in Parijs grote Franse wiskundigen als Laplace (1749 - 1827), Lagrange (1736 - 1813), Legendre (1752 - 1833), Monge (1746 - 1818) en Fourier (1768 - 1830). Poisson kende hen allemaal en werd door hen gesteund bij het verkrijgen van een hoogleraarschap aan de École Polytechnique...

 

 

 

Het leven van Poisson

Siméon-Denis Poisson werd op 21 juni 1781 geboren in Pithiviers. In de beginjaren van de Franse Revolutie speelde de vader van Poisson een belangrijke rol in het lokale bestuur en hij deed er alles aan om Siméon-Denis een goede positie te bezorgen. Vader Poisson poogde zijn zoon medicijnen te laten studeren, maar daarvoor bleek Siméon-Denis niet erg geschikt, met name vanwege zijn onhandigheid, maar ook vanwege gebrek aan interesse. Hij had volgens M. Billy, één van zijn leraren, wel aanleg voor de (meer theoretische) wiskunde en ging dan ook in 1798 naar de école Polytechnique in Parijs om toelatingsexamens te doen. Hij slaagde als beste en begon nog datzelfde jaar zijn studie waarbij hij vrijwel meteen de aandacht trok van zijn leraren Laplace en Lagrange, die zijn talenten herkenden. Alleen de beschrijvende meetkunde die door Gaspard Monge werd gegeven was voor Poisson geen succes, weer speelde zijn onhandigheid een rol: meetkundige tekeningen maken kon hij niet goed.

 

In 1800 schreef Poisson een artikel over het aantal oplossingen van een differentievergelijking en de stelling van Bézout uit de getaltheorie. Op grond van de kwaliteit van dit onderzoek studeerde Poisson af aan de École Polytechnique en op voorspraak van Laplace kreeg hij er meteen een baan aangeboden als repetitor.
In 1806 werd Poisson benoemd tot hoogleraar aan de École Polytechnique als opvolger van Fourier die door Napoleon naar Grenôble werd gestuurd.

Met politiek hield Poisson zich nauwelijks bezig, alleen met het belang van de École Polytechnique. Dat hij daarbij studentenprotesten indamde kwam Napoleon's regiem wel goed uit, maar was in feite niet een politiek gemotiveerde daad. Het deed Poisson's carrière echter geen kwaad. Hij werkte vooral aan gewone en partiële differentiaalvergelijkingen, vooral in samenhang met de theoretische natuurkunde.
In 1808 werd Poisson benoemd tot astronoom aan het Bureau des longitudes, in 1809 werd hij aan de Faculté des Sciences benoemd tot hoogleraar mechanica. In 1815 werd hij onderzoeker aan de École Militaire in Saint-Cyr, in 1816 onderzoeker aan het École Polytechnique en in 1820 meetkundige bij het Bureau des Longitudes. Als docent was Poisson zeer succesvol, als onderzoeker was hij een zeer harde werker met vaak ongeëvenaarde resultaten.

 

In 1817 trouwde Poisson met Nancy de Bardi. En hoewel ook het gezinsleven veel van zijn energie vergde, bleef Poisson veel werk verzetten in de toegepaste wiskunde. Onder andere werkte hij aan de theorie van elektriciteit en magnetisme, aan de theorie van de elastische oppervlakken, aan de snelheid van geluid in gassen, de warmtegeleiding, harmonische trilling, e.d. En dit waren allemaal zuiver theoretische bespiegelingen, aan experimenten waagde Poisson zich vanwege zijn onhandigheid nooit!
In 1837 schreef hij "Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et matière civile". In dit werk over kansrekening kwam voor het eerst de beroemde Poissonverdeling voor. Deze kansverdeling is belangrijk in situaties waarin de kans op "succes" heel erg klein is en het aantal herhalingen heel erg groot. Ook introduceerde hij de "wet van de grote aantallen". In die tijd werd het belang van dit geschrift niet echt herkend, dat kwam pas later...

 

 

 

De Poissonverdeling

In 1837 introduceerde Poisson een benadering van de binomiale kansverdeling.
Bij de al geruime tijd bekende binomiale verdeling gaat het om de herhaling van`n` dezelfde kans(Bernoulli)experimenten, waarbij per kansexperiment de kans op succes `p` is. Als `X` de toevalsvariabele is die het aantal successen bij die n gelijke kansexperimenten voorstelt, dan is:

`text(P)(X = k) = ((n),(k)) * p^k * (1-p)^(n-k)`

de bijbehorende binomiale kans.
Poisson bewees dat als `n` heel groot wordt (naar oneindig gaat) en `p` heel klein is geldt:

`text(P)(X = k) = text(e)^(text(-)lambda) * (lambda^k)/(k!)`

waarin `lambda = n * p` de verwachtingswaarde van`X` is.
Prettig aan deze verdeling is dat je de kans op succes per kansexperiment niet hoeft te weten. Als verwachtingswaarde `lambda` gebruik je het gemiddelde aantal "successen" bij een aantal series van `n` kansexperimenten.

Een goed voorbeeld is het aantal zetfouten op de pagina's van deze website. Stel dat dit gemiddeld `2` per vijf pagina's zijn. Op elke pagina vindt per letterteken een kansexperiment plaats met een zeer kleine onbekende kans `p` op een fout letterteken en het aantal herhalingen (het aantal lettertekens per pagina) is onbekend. Toch weet je dat je elke pagina `2/5 = 0,4` zetfouten verwacht. Het aantal zetfouten op deze pagina is een Poisson verdeelde stochast `X` met `lambda = 0,4`.
Volgens de Poissonverdeling is de kans op geen zetfout op deze pagina: `text(P)(X=0) = text(e)^(text(-)0,4) * (0,4^0)/(0!) ~~ 0,6703`.

Door een onderzoek van L. von Bortkiewicz (1868 - 1931) naar de dood door een trap met een paardenhoef onder Pruisische cavaleriesoldaten werd de Poissonverdeling bekend. Hij gebruikte een tabel met het aantal doden door de trap van een paardenhoef per regiment van `14` regimenten en over `20` jaren (1875 t/m 1894). Hij constateerde dat er die `20` jaar in totaal `196` doden waren gevallen door een trap met een paardenhoef. Dat is `0,7` per regiment per jaar.
Bortkiewicz nam aan dat het aantal doden`X` als gevolg van de trap met een paardenhoef Poisson verdeeld was met `lambda = 0,7`. Hij berekende daarmee de kansen op `X=0`, `X=1`, `X=2` etc.
En hiermee kon hij voorspellen hoe vaak `0` doden per jaar als gevolg van een trap met een paardenhoef zou voorkomen, en hoe vaak `1` dode per jaar, etc...



Lees meer in "Poisson, de Pruisen en de Lotto", Tijms/Heierman/Nobel, Epsilon uitgeverij (Zebrareeks nr.5)

 

 

 

---

Math4all