Guiseppe Peano (1858 - 1932) was een Italiaans wiskundige, filosoof en logicus. Peano werd in 1858 geboren in Spinetta, een deel van Cuneo in Piemonte. Door een broer van zijn moeder, die priester en advocaat was in Turijn, werd zijn talent ontdekt en werd hij voorbereid voor een studie aan de universiteit van Turijn. In 1876 begon hij aan zijn studie aan die universiteit waar hij in 1880 summa cum laude afstudeerde in de zuivere wiskunde.
Peano werd meteen na zijn afstuderen aangesteld als universitair docent aan de universiteit van Turijn. Vanaf 1882 was hij min of meer verantwoordelijk voor het vak "Infinitesimale Calculus" (de functietheorie van reële en complexe functies met daarin oneindigheden als limieten, afgeleiden, differentialen, differentiaalvergelijkingen, integralen en dergelijke). Daarnaast ging hij vanaf 1886 ook lesgeven aan de Militaire Academie in Turijn. In 1888 publiceerde hij zijn eerste werk over de wiskundige logica met de symbolen `nn` (doorsnede van twee verzamelingen) en `uu` (vereniging van twee verzamelingen) die van hem afkomstig zijn. In 1889 schreef hij over de "axioma's van Peano" waarmee hij de rekenkunde een formele onderbouwing gaf binnen de verzamelingenleer. In 1890 werd hij hoogleraar aan de universiteit van Turijn. Verder leverde hij bijdragen aan het oplossen van differentiaalvergelijkingen en bedacht hij als eerste een "ruimtevullende kromme". In 1891 werd hij lid van de Wetenschappelijke Academie van Turijn en even later begon hij aan een encyclopedie van de wiskunde, het "Project Formulario". Daarbij gebruikte hij een soort van internationale taal die later "Interlingua" werd genoemd en raakte hij betrokken bij het ontwikkelen van deze wereldtaal. Hij werd voorzitter van de "Academia pro Interlingua". De boeken die uit het Project Formulario (dat duurde tot 1908 voorkwamen) werden echter (mede vanwege dit taalgebruik) weinig gebuikt.
» De tijd van Peano » Het leven van Peano » Het werk van Peano
Turijn is belangrijkste stad in het vroegere hertogdom Savoye in Noord-Italië. Omdat een Savoyese prins, Victor Emanuel II, in 1861 de eerste koning van Italië werd, is de geschiedenis van Turijn sterk verbonden met de Italiaanse eenwording, de Risorgimento. Turijn was tot 1865 zelfs de eerste hoofdstad van het verenigde Italië.Peano leefde dus in één van de belangrijkste steden van Italië.
Zo werd in Turijn in 1899 door de familie Agnelli de autofabriek Fiat opgericht, een bedrijf dat nog steeds van groot belang is voor de Turijnse economie. En Turijn was tot het uitbreken van de Eerste Wereldoorlog de filmstad van Italië.
In de Eerste Wereldoorlog hoorde Italië eerst bij de Triple Alliantie (Duitsland, Oostenrijk-Hongarije, Italië), maar liep in 1915 over naar de Triple Entente (Groot-Britannië, Frankrijk, Rusland). Italië vocht vooral tegen Oostenrijk-Hongarije en moest steun ontvangen van de andere geallieerden. In Turijn zal weinig te merken zijn geweest van die periode. Wel kwam in die jaren sterk nationalisme op. Daar tegenover staat Peano's meer universalistische denken.
1914 - 1918: Eerste Wereldoorlog
Guiseppe Peano werd in 1858 op de boerderij "Tetto Galant" in Spinetta, ongeveer 5 km van Cuneo, geboren. Op jonge leeftijd kochten zijn ouders een huis in Cuneo waar hij met zijn moeder verbleef en naar school ging, zijn vader werkte op de boerderij. Giuseppe had een oom die priester en advocaat was in Turijn en die zich realiseerde dat de jonge Guiseppe zeer getalenteerd was. Hij nam hem in 1870 meet naar Turijn en daar ging hij naar de middelbare school en vanaf 1876 naar de universiteit. Aan de universiteit van Turijn studeerde hij uiteindelijk (als enige student) zuivere wiskunde en in 1880 werd hij er doctor in de wiskunde.
Al snel na zijn studie werd hij daar benoemd tot assistent van eerst hoogleraar D'Ovidio en later hoogleraar Genocchi. Omdat Genocchi oud en ziekelijk was, nam Peano veel van zijn lessen over en daarbij ontdekte hij een fout in het lesboek betreffende de oppervlakte van een gekromd oppervlak. Het ontdekken van dit soort fouten was kenmerkend voor zijn precisie van denken. In 1884 werd Peano benoemd tot lector en ging hij door met lesgeven aan de universiteit van Turijn, ondanks zijn spraakgebrek (hij kon de "r" niet uitspreken). Hij was er verantwoordelijk voor het vak "Infinitesimale Calculus" (de functietheorie van reële en complexe functies met daarin oneindigheden als limieten, afgeleiden, differentialen, differentiaalvergelijkingen, integralen en dergelijke). Het lesboek voor dit vak was gebaseerd op Genocchi's lessen, maar geredigeerd en grotendeels herschreven door Peano.
In 1886 begon Peano ook lessen te geven aan de Militaire Academie van Turijn. Het jaar daarop trouwde hij met Carola Crosio en ontdekte hij een manier om stelsels van eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen op te lossen, die echter al eerder was ontdekt door Hermann Schwarz (1843 - 1921). In 1888 publiceerde hij een boek over meetkunde waarin hij als eerste de moderne vectorruimte definieerde. En in 1889 beschreef hij de "axioma's van Peano" die een formele onderbouwing van de rekenkunde vormden. Een jaar later ontdekte hij als eerste een ruimtevullende kromme, de "Peano-kromme". In 1890 werd hij Genocchi's opvolger als hoogleraar aan de univeriteit van Turijn.
In 1891 richtte Peano het blad "Rivista da mathematica" op, dat volledig was gewijd aan logica en de grondslagen van de wiskunde. Een eerste artikel in dat tijdschrift somde zijn werk op dit gebied tot dan toe op. Zoals eerder al was gebleken streefde hij een grote precisie in het wiskundig formuleren na en hij ontdekte dan ook diverse fouten/hiaten in redeneringen van anderen. Uiteindelijk leidde dit ertoe dat hij samen met zijn assistenten een nauwkeurige encyclopedie van alle wiskundige stellingen geformuleerd op basis van de wiskundige logica. In 1892 startte hij dit als het "Project Formulario". Dit moest een internationaal bruikbaar lesboek voor de universitaire wiskunde worden, maar daarin mislukte het volledig. Toen Peano dit (nadat het eerste deel in 1896 klaar was) als zijn lesmethode ging inzetten sloeg hij de plank volledig mis door te denken dat lesgeven nog uitsluitend zou bestaan uit het laten zien wat er hoe je de formules en stellingen uit het boek moest lezen. En toen Peano niet bereid bleek zijn standpunt aan te passen, werd hij aan de Militaire Academie in 1901 als docent ontslagen. Zijn universitaire carrière was echter onaantastbaar.
In 1900 werden in Parijs twee belangrijke congressen gehouden. De eerste was het Internationale Filosofie Congres, waar Peano zijn nauwkeurige werkwijzen en notaties in de wiskundige logica liet zien. En waar de grote Brits filosoof en wiskundige Bertrand Russel (1872 - 1970) met hem kennis maakte en vol lof was over zijn ideeën. Daarna was het de beurt aan het Tweede Internationale Wiskunde Congres waarin Peano de rede hoorde van David Hilbert (1862 - 1943) waarin hij zijn 23 onopgeloste problemen, een wiskundig onderzoeksprogramma dat tot op dit moment nog niet is voltooid, presenteerde. Peano was vooral geïnteresseerd is het tweede probleem, dat ging over de vraag of de axioma's van de rekenkunde een samenhangende theorie vormden. Deze twee congressen vormden een hoogtepunt in Peano's loopbaan.
Hierna ging Peano door met het Project Formulario. Hij raakte er steeds meer van overtuigd dat dit werk ook in een internationale taal moest worden geschreven en in 1903 stelde hij het "Latino sine flexione" (gebaseerd op Latijn zonder grammatica, later "Interlingua" genoemd) voor als zodanig. Het in 1908 gepubliceerde laatste deel van het Project Formulario was in die taal geschreven en werd mede daarom weinig gebruikt. Peano werd verkozen tot directeur van wat later de "Academia pro Interlingua" heette en daarna hield hij zich vooral bezig met het bevorderen van universele talen. Wel bleef hij zijn universitaire loopbaan voortzetten en lesgeven tot de dag voor zijn overlijden op 20 april 1936.
Guiseppe Peano heeft zich vooral met analyse (differentiaalvergelijkingen) en de formele axiomatische opzet van de wiskunde bezig gehouden. Na 1900 vormden voor hem het werken aan het "Project Formulario" (een overzicht van alle wiskundige formules) en aan een universele taal (het "Interlingua") de hoofdzaak. Twee belangrijke eerdere werken zijn:
Aan het einde van de 19e eeuw werden in de getaltheorie bewijzen met behulp van volledige inductie (als iets waar is voor `n=1` en uit de waarheid ervan voor `n` volgt die voor `n+1`, dan is dit voor elke `n` waar) veel gebruikt. Omdat volledige inductie sterk is gebaseerd op de structuur van de natuurlijke getallen, werd het steeds belangrijker om een consistente theorie te hebben voor de natuurlijke getallen en het rekenen ermee.
Peano was de eerste die een sterk op de wiskundige logica gebaseerde theorie heeft opgebouwd. Hij gebruikte de axioma's:
Dit laatste axioma maakt de bewijsmethode van volledige inductie mogelijk.
Binnen de verzameling `NN` van de natuurlijke getallen gedefinieerd door deze axioma's kun je de gebruikelijke rekenoperaties "optellen" en "vermenigvuldigen" definiëren. (Voor de operaties "aftrekken" en "delen" moet je dan weer de verzameling der natuurlijke getallen uitbreiden...)
Hieronder zie je hoe Peano's ruimtevullende kromme kan worden gemaakt. Een ruimtevullende kromme is een kromme, die het volledige 2-dimensionale eenheidsvierkant (of meer in het algemeen een `n`-dimensionale hyperkubus) opvult.Deze Peanokromme kun je maken door steeds elk deelvierkantje in negen gelijke deelvierkanten te splitsen en de middens ervan met een S-vormige kromme te verbinden zoals je die in de linker figuur ziet. (En dan al die S-vormen met elkaar uiteinden te verbinden.)
Bron: Wikipedia
Math4all
Links: » Wikipedia over Peano » Over de axioma's van Peano » Peano's ruimtevullende kromme » Over het Interlingua Links naar anderstalige sites: » Over Peano
Ik wil mij aanmelden voor:
