Overzicht geschiedenis van de analyse

De vroege geschiedenis van de analyse

Analyse in de Griekse wiskunde

Al in de vijfde eeuw v.Chr. werd het oneindige onderwerp van filosofische beschouwingen. Bekend zijn de paradoxen van Zeno, waarin de mogelijkheid van oneindig kleine verdelingen van ruimte en tijd werden besproken. Een heel bekende is die van Achilles en de schildpad:

Achilles hield met de schildpad een hardloopwedstrijd. Achilles loopt 1000 maal zo snel als de schildpad. Daarom krijgt deze 1000 meter voorsprong. Die 1000 meter heeft Achilles in 100 seconden al afgelegd. De schildpad is dan slechts 1 meter verder gekomen. Over die éne meter doet Achilles slechts 0,1 seconde, maar de schildpad is daarna nog steeds 0,001 meter voor. En voor die 0,001 meter heeft Achilles tot weer een beetje tijd nodig waarin de schildpad ook weer een stukje vooruit komt. Kennelijk haalt Achilles de schildpad nooit in...

Het is wel duidelijk dat de Oude Grieken worstelden met dergelijke problemen.

In de vierde eeuw v.Chr. bedacht de wiskundige Eudoxus de uitputtingsmethode om bijvoorbeeld oppervlakte van de cirkel te bepalen. Vooral Archimedes wist deze methode met grote vaardigheid toe te passen, onder andere ook bij het berekenen van de inhoud en de oppervlakte van de bol. Deze methode is een vroege voorloper van het integreren. Archimedes ging nog verder met het ontwikkelen van dergelijke methoden, maar veel van zijn werk is later in vergetelheid geraakt.

Uit de Laat-Griekse periode stamt nog de stelling van Pappos (omstreeks 320 na Chr.) die zegt, dat de inhoud van een vlakke figuur die wentelt om een lijn die de figuur niet snijdt, gelijk is aan het product van de oppervlakte van de figuur en de afstand die het zwaartepunt van de figuur aflegt gedurende de draaiing.
Tegenwoordig berekenen we de inhoud van zo'n omwentelingslichaam met behulp van integreren. Echte fundamentele stappen richting de differentiaal- en integraalrekening wisten de Grieken niet te zetten. Zij waren en bleven echte meetkundigen...

 

De veertiende, vijftiende en zestiende eeuw

In de veertiende eeuw ontstond er langzamerhand behoefte aan antwoorden op een vraag zoals:

• Als een voorwerp beweegt met een variërende snelheid, hoe kun je dan bepalen hoe ver het is gekomen na een bepaalde tijd?

Eén van de belangrijkste figuren die poogden die vraag te beantwoorden was Nicole Oresme (1323 - 1382), die bisschop was van Lisieux. Hij was de eerste die de variërende snelheid uitzette in een soort van grafiek: horizontaal de tijd en verticale lijnstukken stelden dan de snelheid voor. Dit was het begin van het werken met grafieken van functies.
Voordat verdere stappen op het gebied van functies en grafieken konden worden gezet, moest eerst het werken met lettervariabelen in de algebra zich verder ontwikkelen. Dat gebeurde in de vijftiende, zestiende en zeventiende eeuw.
Het duurde tot de zeventiende eeuw totdat Galileï het begrip functie invoerde in het kader van zijn bewegingsleer. En in diezelfde periode bedachten Descartes en Fermat de analytische meetkunde waarin algebraïsche formules werden gebruikt om krommen (en dus ook grafieken) te beschrijven. Pas daarna werd de verdere studie van functies en grafieken mogelijk...

 

 

 

De zeventiende eeuw

Misschien kun je wel zeggen dat de analyse werd ontwikkeld om de belangrijke natuurwetenschappelijke vraagstukken van de zeventiende eeuw op te lossen.
In die tijd ging het namelijk in de wetenschap om problemen zoals:

• De beweging van lichamen:
  De afstand die een lichaam afhankelijk van de tijd aflegt veroorzaakt een snelheid (de verandering van die afstand met de tijd en een versnelling (de verandering van de snelheid met de tijd). Het ging er om de snelheid af te leiden uit de veranderende afstand, de versnelling af te leiden uit de veranderende snelheid en omgekeerd om uit de versnelling de snelheid af te leiden en uit de snelheid de afgelegde weg.
• De raaklijn aan een kromme:
  Bij de zich ontwikkelende optica (de studie van spiegels en vooral lenzen) ging het om het gedrag van een lichtstraal door een lens. Daarbij speelden raaklijnen en formules voor raaklijnen een grote rol, want in de bekende wet 'hoek van inval is gelijk aan hoek van uittreding' gaat het bij kromme oppervlakken om de hoek met de raaklijn in het punt van inval.
• Maximum- en minimum problemen:
  Bij de oorlogvoering was het van belang om de maximale reikwijdte van een kanon of een musket te kunnen berekenen.
• Inhouds-, oppervlakte- en booglengtebepaling:
  Daarbij ging het om de lengte van een kromme baan, de oppervlakte van een lichaam, de inhoud van een lichaam, en dergelijke.

 

Diverse wetenschappers hielden zich in die tijd (onder invloed van de economische bloei van West-Europa) met dergelijke onderwerpen bezig. Bijvoorbeeld Johannes Kepler beschreef de beweging van hemellichamen, maar gaf ook benaderingen van de inhoud van omwentelingslichamen die hij opdeelde in heel veel dunne cilindervormige plakjes. En verder Galileo Galileï die (net als Oresme) begreep dat de oppervlakte onder een snelheid-tijd-grafiek de afgelegde weg voorstelt. En Cavalieri (een student van Galileï) die het 'principe van Cavalieri' formuleerde: als twee lichamen die op elke hoogte dezelfde doorsnede hebben ook dezelfde hoogte hebben, dan hebben ze dezelfde inhoud.
Andere bekende namen zijn de Brit John Wallis, die in zijn boek "Arithmetica Infinitorum" uit 1665 liet zien hoe algebraïsche methoden konden worden toegepast in meetkundige situaties (in navolging van Descartes) zoals het berekenen van de oppervlakte van gebieden die door krommen werden begrensd, en de Fransman Fermat die extremen van veeltermfuncties berekende op een manier die veel doet denken aan de moderne differentieertechnieken. Met name Fermat wordt wel gezien als de wiskundige die de grondbeginselen van het differentiëren uitvond.

 

De meest fundamentele stap op dit terrein moest echter nog komen. Wel waren alle ingrediënten voor die stap in principe aanwezig.

 

 

 

Newton en Leibniz

De echte uitvinding van de analyse gebeurde door Isaac Newton (in de jaren 1665-1666) en onafhankelijk daarvan door Gottfried Wilhelm Leibniz (in de periode 1673 - 1676). Zij voegden de fundamentele ideeën toe aan de grote hoeveelheid werk die op dit terrein al door voorgangers was gezet:

• Als eersten onderkenden zij dat de bedachte differentieertechnieken niet alleen op veeltermen van toepassing waren, maar heel breed konden worden ingezet.
• Als eersten bedachten zij bruikbare notaties. Met name het `(text(d)y)/(text(d)x)` voor de afgeleide en de lange S als integraalteken zijn afkomstig van Leibniz.
• Zij beschreven systematisch de regels die nodig waren voor het vinden van afgeleiden en integralen.
• Zij zagen als eersten het fundamentele verband in tussen differentiëren en integreren: zij herkenden integreren als het 'omgekeerde van differentiëren'. En zij waren de eersten die dit principe toepasten op het berekenen van oppervlaktes en inhouden.

 

De analyse die beiden daarbij ontwikkelden gaat over de de eigenschappen van krommen (grafieken), van raaklijnen, het berekenen van extremen, booglengtes, oppervlaktes onder krommen, inhouden van omwentelingslichamen, het berekenen van formules voor snelheid en versnelling, en wat dies meer zij. Dit alles werd teruggebracht tot twee eenvoudig samenhangende methoden: het differentiëren en het integreren.

 

Newton ontdekte de theorie het eerst, Leibniz bedacht zijn opzet onafhankelijk van Newton en publiceerde zijn ideeën het eerst. Helaas ontstond er een pijnlijke ruzie tussen (aanhangers van) beiden over de vraag wie nu de eigenlijke bedenker van de analyse was.

 

 

 

Latere ontwikkelingen

Nadat Leibniz in 1684 en 1686 zijn ideeën over analyse publiceerde liepen verschillende wiskundigen op het vasteland van West-Europa warm voor dit onderwerp. Vooral de Zwitsers Jakob en Johann Bernoulli en de Fransman De l'Hôpital ontwikkelden Leibniz' gedachten verder. Het eerste leerboek over analyse "Analyse des Infiniment Petits" (1696) was van de hand van De l'Hôpital, maar leunde sterk op werk van de Bernoulli's. En daarna kwam Euler...

 

Leonhard Euler was een leerling van Johann Bernoulli en waarschijnlijk de meest productieve wiskundige aller tijden. Hij voerde diverse notaties in (denk aan het getal e en de notatie voor pi en de notatie `f(x)` voor functies) en deed veel werk op het gebied van het uitschrijven van functies in de vorm van een reeks (somrij), het differentiëren van exponentiële - en logaritmische functies, etc. Hij schreef het boek "Introductio in Analysin Infinitorum" (1748), een boek dat even belangrijk was voor de analyse als "De Elementen" van Euklides voor de meetkunde en "Al-Jabr w'al Muqabala" van Al-Khowarîzmî voor de algebra.

 

Belangrijk was ook Joseph Louis Langrange die de grondlegger was van de moderne theorie van functies van een reële variabele. Zijn boek 'De theorie van analytische functies' verscheen in het Frans in 1797. Euler, Lagrange en hun tijdgenoten deden veel ontdekkingen op het gebied van de analyse, maar hielden zich niet erg bezig met de logische opbouw van de theorie.

 

 

 

De moderne analyse

In de negentiende eeuw begonnen wiskundigen zich veel meer bezig te houden met de nauwkeurige onderbouwing van hun theorieën in navolging van de axiomatische opbouw (stellingen die werden bewezen vanuit basisaannames die axioma's heten) die Euklides vele eeuwen eerder voor de wiskunde van de Oude Grieken had neergelegd in zijn boek "De Elementen". Vooral ook de analyse kreeg zo'n strenge opbouw. Daarbij ging het voor een groot deel om het nauwkeurig vastleggen van de begrippen "oneindig groot" en "oneindig klein". Verder ging het om de definitie van de reële getallen.

 

Deze opbouw is vooral het werk van de Fransman Augustin Louis Cauchy. In zijn "Cours d'analyse" uit 1821 werd het begrip "limiet" ingevoerd als onderliggend grondbeginsel en wel op een wijze die vrijwel gelijk is aan onze moderne benadering van de analyse. Hij ging van een meetkundige benadering naar een echt rekenkundige benadering. De definitie van afgeleide zoals die in de huidige leerboeken voorkomt is van hem afkomstig. Hij benadrukte ook dat een bepaalde integraal de limiet is van een som en onafhankelijk van de het begrip afgeleide kan worden gedefinieerd. Van hieruit ontstond de moderne kijk op integraal als een limietsom van oneindig kleine eenheden.

 

Zijn tijdgenoot Lejeune Dirichlet verbreedde het functiebegrip. Hij voerde in dat elk voorschrift waarbij aan een x-waarde hoogstens één `y`-waarde werd toegevoegd een functie beschreef. Hij kwam daardoor op heel merkwaardige discontinue en niet differentieerbare functies uit, waarvoor de theorie echt moest worden aangescherpt. Bernard Bolzano intussen ontdekte verschillende soorten 'oneindig': tussen 0 en 1 zitten al oneindig veel reële getallen, dus alle reële getallen zijn 'oneindiger dan oneindig', een merkwaardige tegenspraak. Bernard Riemann beschreef op grond van deze problemen het begrip integraal opnieuw en voerde de Riemann-sommen in. Hij was ook de grondlegger van de differentiaalmeetkunde, waarin de methoden van de differentiaalrekening werden toegepast op gekromde oppervlakken. Karl Weierstrass bedacht de ε, δ-definitie van limiet. Wat echter nog ontbrak was een duidelijk inzicht in wat irrationale getallen, zoals π, e en de wortels die niet op een net rationaal (geheel of gebroken) getal uitkwamen, precies voorstelden.

 

In 1872 zagen twee belangrijke geschriften het licht van Richard Dedekind (1831-1916) en van Georg Cantor (1845-1918), twee bevriende wiskundigen. Zij bedachten een manier om de reële getallen de definiëren in termen van verzamelingen. En zij probeerden daarmee de tegenspraak die Bolzano opmerkte aan te pakken. Dit leidde tot een complete verzamelingenleer en tot een geheel nieuwe opzet van de getallentheorie. En daarmee kon het fundament van de analyse verder worden vervolmaakt.

 

Uiteindelijk leidde dit tot een studie van "formele systemen" waarvan de gewone rekenkunde, de axiomatische opbouw van de analyse en de meetkunde voorbeelden zijn. Dit duwde de verdere ontwikkeling van de analyse wat naar de achtergrond. De studie van formele systemen was één van de belangrijkste thema's van de wiskunde in de twintigste eeuw, met namen als Whitehead, Russel, Hilbert en Gödel. En uiteindelijk ook Turing en het ontstaan van de computer.
De analyse die wij in het voortgezet onderwijs in onze leerboeken bestuderen is vooral die van de negentiende eeuw...

 

 

 

---

Math4all