Oppervlakte en coördinaten

Inleiding

Je hebt ooit wel geleerd hoe je van een figuur waarvan de hoekpunten op een rooster liggen de oppervlakte kunt bepalen. Vaak werkt ofwel verdelen in rechthoeken en rechthoekige driehoeken, ofwel omlijsten door een rechthoek waarvan je dan rechthoeken en rechthoekige driehoeken afhaalt, wel goed.
Maar dit kan best veel werk opleveren als de figuren meer hoekpunten hebben, of die hoekpunten tot een ingewikkelde figuur leiden. Daarom zijn er wiskundigen die daar oplossingen voor hebben bedacht.
Je gaat met twee daarvan kennismaken.

In een rooster heet het snijpunt van twee roosterlijnen een roosterpunt. Een roosterpuntendriehoek is een driehoek waarvan elk hoekpunt een roosterpunt is. Zo heb je natuurlijk ook een roosterpuntenvierhoek, een roosterpuntenvijfhoek en in het algemeen een roosterpuntenveelhoek. Daarvan ga je de oppervlakte berekenen.

 

 

 

De formule van Pick

`ABCD` is een roosterpuntenvierhoek. De roosterpunten op de rand zijn blauw gekleurd en de roosterpunten in het inwendige zijn rood gekleurd. Het aantal roosterpunten op de rand noemen we `R` en het aantal roosterpunten in het inwendige noemen we `I`. In deze figuur geldt `R=8` en `I=13`. Er is een regel waarmee je de oppervlakte van een dergelijke figuur kunt uitrekenen, namelijk de formule van Pick.

Oppervlakte roosterpuntenveelhoek = = aantal inwendige punten `+ 1/2 ×` (aantal randpunten) `- 1 =` `= I + 1/2 R - 1`.

Het verklaren waarom deze regel klopt is vrij technisch en dat gaat voor nu iets te ver.

In de figuur hiernaast vind je met de formule van Pick een oppervlakte van `16`. Je kunt deze oppervlakte zelf ook zonder deze formule uitrekenen door de vierhoek in te sluiten in een rechthoek, en dan van de oppervlakte van de rechthoek de oppervlaktes van de rechthoekige driehoeken binnen de rechthoek die buiten de vierhoek liggen er weer van af te trekken:

opp.(`ABCD`) = opp.(`PQRS`) − opp.(Δ1)− opp.(Δ2)− opp.(Δ3)− opp.(Δ4) `=6×5−1 1/2 − 4 1/2 −4−4=30−14=16 `.

Het insluiten leidt niet altijd tot een eenvoudige berekening.

Hier geeft de formule van Pick het snelste resultaat.

 

 

 

De schoenveterformule van Gauss

Dit is een zeer elegante en snelle methode om de oppervlakte van een veelhoek `V` gelegen in het `xOy`-vlak te bepalen als de coördinaten van de hoekpunten van `V` gegeven zijn. Je ziet eerst een voorbeeld en vervolgens de algemene regel. Daarna volgt het bewijs in het volgende blok.

Beschouw de volgende vijfhoek `ABCDE`, die we `V` zullen noemen. De hoekpunten van `V` zijn `A(4, 1)`, `B(3, 4)`, `C(-1, 5)`, `D(-2, 2)` en `E(2, -1)`. Schrijf de coördinaten van `A` t/m `E` volgens dit schema:

De `x`-coördinaten van `A` t/m `E` staan (in deze volgorde) in de bovenste en de `y`-coördinaten in de onderste rij. De coördinaten van `A` worden aan de rechterkant nog één keer herhaald.
De oppervlakte van `V` wordt dan berekend met de schoenveterformule:

opp.(`V`) `= 1/2*{(4*4-3*1)+(3*5--1*4)+(-1*2--2*5)+(-2*-1-2*2)+(2*1-4*-1)} =`
`= 1/2*{13+19+8+(−2)+6}=22`

Opmerkingen:
1) De reden voor de benaming ‘schoenveterformule’ is evident: het visueel aangegeven patroon van de kruisproducten lijkt op de manier waarop schoenveters in een schoen zitten.
2) Belangrijk is dat de hoekpunten zodanig doorlopen worden dat men het ingesloten gebied steeds aan de linkerkant heeft. De (geordende) rij hoekpunten `ABCDE` is dan positief georiënteerd. Voor de eenvoudige figuur bij het bovenstaande voorbeeld betekent dit dat de rand van `V` in tegenwijzerzin wordt doorlopen. Als je de rand in de andere richting doorloopt (het gebied steeds aan de rechterkant), dan geeft de schoenveterformule de negatieve waarde van de oppervlakte; dan is `ABCDE` negatief georiënteerd.
3) Het maakt niet uit bij welk hoekpunt van `V` je de omloop (met een positieve oriëntatie) van de rand begint. Dit komt door het cyclische karakter van de formule.

---

Algemener, laat de vijfhoek `V` gegeven zijn met de opeenvolgende hoekpunten `A(x_1, y_1)`, `B(x_2, y_2)`, `C(x_3, y_3)`, `D(x_4, y_4)` en `E(x_5, y_5)`. Neem aan dat `ABCDE` positief georiënteerd is. Dan geeft de schoenveterformule in dit geval dat

opp.(`V`)= `1/2*{(x_1 y_2 - x_2 y_1)+(x_2 y_3 - x_3 y_2)+(x_3 y_4 - x_4 y_3)+(x_4 y_5 - x_5 y_4)+(x_5 y_1 - x_1 y_5)}`

Dit is nog bondiger weer te geven met het sommatieteken als je aanneemt `x_6 := x_1` en `y_6 := y_1`. Dan kun je dit zo schrijven:

opp.(`V`) `=1/2*sum_(k=1)^(5) (x_k y_(k+1) - x_(k+1) y_k)`

Het zal nu duidelijk zijn hoe de algemene situatie verloopt.

Stel dat `V` een gebied is met de opeenvolgende hoekpunten `P_1(x_1, y_1)`, `P_2(x_2, y_2)`, `...`, `P_n(x_n, y_n)` en `P_1 P_2 ... P_n` is positief georiënteerd. Dan geldt: opp.(`V`) `=1/2*sum_(k=1)^(n) (x_k y_(k+1) - x_(k+1) y_k)`, waarbij `x_(n+1) := x_1` en `y_(n+1) := y_1` gesteld is.

Het gebied kan heel grillig zijn en mag inkepingen hebben, zoals in de onderstaande twaalfhoek `V = ABC...L`. Merk op dat ` ABC...L` positief georiënteerd is (het gebied steeds aan de linkerkant).

Het bijbehorende schoenveterpatroon is:

Toepassen van de schoenveterformule geeft een oppervlakte van `36` eenheden. Ga dat zelf na.

De enige voorwaarde voor de juistheid van de schoenveterformule is dat de rand van `V` zichzelf niet snijdt. Dus bijvoorbeeld het onderstaande gebied leent zich niet voor het toepassen van de formule.

 

 

 

De schoenveterformule bewijzen

Nu volgt een bewijs van de schoenveterformule. Het bewijs is opgedeeld in lemma’s (hulpstellingen), waardoor de redenering overzichtelijker wordt. De lemma’s zijn ook op zichzelf interessant

Lemma 1:

Gegeven is `Delta OAB`, met `O=(0, 0)`, `A=(x_1, y_1)` en `B=(x_2, y_2)`.
`Delta OAB` is positief georiënteerd.
Dan geldt dat opp.`(Delta OAB) = 1/2 * (x_1 y_2 - x_2 y_1)`.

Bewijs:
Je ziet nu een algemeen bewijs dat voor elke mogelijke ligging van de driehoek geldig is.

Stel dat `OA=a` en `OB=b`. Laat `alpha` de hoek (in graden) zijn waarover de vector `((a),(0))` in tegenwijzerzin geroteerd moet worden om samen te vallen met de vector `vec(OA) = ((x_1),(y_1))`, waarbij `0 le alpha le 360^@`.

Stel dat `/_AOB = varphi`, met `0 le varphi le 180^@` (voor `varphi=0^@` of `varphi = 180^@` is `Delta` ontaard in een lijnstuk; in dit geval is de oppervlakte van de ‘driehoek’ gelijk aan nul).
Er geldt nu dat `A=(a*cos(alpha), a*sin (alpha))=(x_1, y_1)` en `B=(b*cos(alpha+varphi), b*sin (alpha+varphi))=(x_2, y_2`.
Dit impliceert dat (gebruik de verschilformule voor de sinus):
opp.`(Delta ABC)=1/2 *a*b*sin(varphi)=1/2 *a*b*sin(alpha+varphi-alpha)`
`=1/2*a*b*{sin(alpha + varphi)*cos(alpha)-cos (alpha+varphi)*sin (alpha)}`
`=1/2*(a*cos(alpha)*b*sin(alpha+varphi)-a*cos(alpha+varphi)*b*sin(alpha))=1/2*(x_1y_2-x_2y_1)`.

---

Lemma 2:

Gegeven is `Delta ABC`, met `A=(x_1, y_1)`, `B=(x_2, y_2)` en `C=(x_3, y_3)`.
`Delta ABC` is positief georiënteerd.
Dan geldt dat opp.`(Delta ABC) = 1/2 * {(x_1 y_2 - x_2 y_1) + (x_2 y_3 - x_3 y_2) + (x_3 y_1 - x_1 y_3)}`.

 

Bewijs:

Pas de translatie `T(-x_3, -y_3)` toe. Dan gaat `C` over in `O(0, 0)`, `A` over in `A'(x_1-x_3, y_1-y_3)` en `B` in `B'(x_2-x_3, y_2-y_3)`. Verder is `Delta OA'B'` positief georiënteerd. Er volgt, door toepassing van Lemma 1, dat
opp.`(Delta ABC)=`opp.`(Delta OA'B")=1/2 *{(x_1-x_3)*(y_2-y_3)-(x_2-x_3)*(y_1-y_3)}`
` =1/2*{x_1y_2-x_1y_3-x_3y_2+x_3y_3-x_2y_1+x_2y_3+x_3y_1-x_3y_3}`
`=1/2 *{(x_1y_2-x_2y_1)+(x_2y_3-x_3y_2)+(x_3y_1-x_1y_3)}`.

---

Dan volgt nu het meest technische ingrediënt van het bewijs van de schoenveterformule. Hierbij wordt het bewijsprincipe van volledige inductie gebruikt. Met een diagonaal van een veelhoek wordt een lijnstuk bedoeld dat twee niet-naburige hoekpunten met elkaar verbindt en geheel binnen die veelhoek ligt.

Lemma 3:

Elke veelhoek waarvan de rand zichzelf nergens snijdt is op te delen in driehoeken met behulp van diagonalen die elkaar nergens snijden (in het inwendige van de veelhoek).

 

Bewijs:

We bewijzen dit met behulp van inductie op `n` voor alle `n`-hoeken, waarbij `n ge 3`. Voor `n=3` is de juistheid van de bewering evident (de veelhoek is dan een driehoek).
Stel dat de bewering juist is voor alle `k`-hoeken waarbij `3 le k lt n` (inductiehypothese). Neem nu een willekeurige `n`-hoek `V`. Kies een willekeurige lijn `m` die geheel buiten `V` ligt en niet evenwijdig is aan een zijde of een diagonaal van `V`. Verschuif `m` evenwijdig aan zichzelf in de richting van `V` totdat deze lijn door een punt `A` van `V` gaat (de lijn kan slechts door één punt van `V` gaan vanwege de keuze van de richting van `m`). Dit punt `A` is dan een hoekpunt van `V`. Laat `B` en `C` de twee naburige hoekpunten van `A` zijn. Er kunnen zich dan twee mogelijke situaties voordoen (de vorm en het aantal punten van `V` is hierbij niet relevant), zie de volgende figuren.

Er zijn nu twee mogelijkheden voor `Delta ABC`.
1) `Delta ABC` ligt geheel binnen `V`. Zie Figuur 1.
Verwijder `Delta ABC` uit `V`. De resterende veelhoek heeft dan `n-1` hoekpunten, dus is volgens de inductiehypothese m.b.v. diagonalen (die elkaar nergens snijden) in driehoeken te verdelen. Tezamen met de diagonaal `BC` is dan `V` op de gewenste manier opgedeeld in driehoeken.
2) `Delta ABC` bevat punten die niet tot `V` behoren. Zie Figuur 2.
Verschuif dan de lijn `BC` evenwijdig aan zichzelf in de richting van `A`. In elke fase noem je `B'` en `C'` de snijpunten van deze lijn met `AB` en `AC`. Schuif de lijn naar de uiterste positie zó dat het inwendige van het lijnstuk `B'C'` door de rand van `V` gaat. Dan gaat `B'C'` door een randpunt `D` van `V`, dat noodzakelijk een hoekpunt van `V` is. In dit geval is `AD` een diagonaal van `V` (anders zou je `BC` nog verder in de richting van `A` kunnen opschuiven). Door de diagonaal `AD` wordt `V` in twee deelveelhoeken `V_1` en `V_2` verdeeld, elk met minder hoekpunten dan `V` (want `B` en `C` behoren tot verschillende deelveelhoeken). Volgens de inductiehypothese zijn `V_1` en `V_2` met behulp van diagonalen in driehoeken te verdelen. Deze diagonalen (die ook diagonalen in `V` zijn), samen met `AD`, verdelen `V` in driehoeken. Hiermee is het bewijs voltooid.

---

Bewijs van de stelling, de schoenveterformule

De afleiding hieronder is algemeen geldig, de figuur dient alleen ter illustratie.

Verdeel `V` met behulp van diagonalen in driehoeken (dit is mogelijk vanwege Lemma 3) en bereken vervolgens de oppervlakte van elke driehoek met de formule van Lemma 2. Tel deze oppervlaktes bij elkaar op, de som is `S`. Merk op dat elke zijde `P_kP_(k+1)` van `V` in de driehoek waartoe hij behoort bij de positieve oriëntatie van die driehoek in de volgorde `P_k rarr P_(k+1)` wordt doorlopen.
Dit geeft precies één term `1/2*(x_ky_(k+1)-x_(k+1)y_k)` in `S`, waarbij `1 le k le n`.
Bekijk nu de diagonalen `P_iP_j` van de triangulatie van `V`, waarbij `1 le i le n-2` en `j ge i+2`. Elk van die diagonalen `P_iP_j` is een zijde van precies twee driehoeken in de triangulatie.

In een van driehoeken, zeg `Delta P_iP_jP_u`, is de positieve oriëntatie van de hoekpunten `P_iP_jP_u` en in de andere driehoek, zeg `Delta P_iP_jP_v`, is de positieve oriëntatie van de hoekpunten `P_jP_iP_v`. De diagonaal `P_iP_j` geeft daarom twee termen in `S`, namelijk `1/2*(x_iy_j-x_jy_i)` en `1/2*(x_jy_i-x_iy_j)` die elkaar volledig opheffen. `S` is daarom juist de som van de termen `1/2*(x_ky_(k+1)-x_(k+1)y_k)`, waarbij `1 le k le n`.
Hiermee is de schoenveterformule bewezen.

---

 

 

---

bron: materiaal Chris Wildhagen