De omtrek van een cirkel bepalen is lastiger dan je zou denken. In alles wat ik erover kan vinden zit een vooronderstelling die steevast onbewezen blijft.
In dit artikel komt een gangbare benaderingsmethode voor de omtrek van een cirkel aan bod en kijken we naar de à priori veronderstelling in die methode. Vervolgens wordt bekeken hoe wiskundemethodes dit aanpakken. En tenslotte wordt de omtrek echt berekend. Maar hebben we dan die vooronderstelling echt bewezen?
Ik was aan het nadenken over de omtrek van een cirkel, die, zoals ik op de (toen nog) lagere school al leerde, gelijk is aan `22/7` keer de diameter. Later leerde ik dat het eigenlijk `pi *` diameter moet zijn. En weer later leerde ik dat `pi` `3,14...` is, hoe je `pi` kunt benaderen en dat `pi` een irrationaal getal is.
Een aardige en veel gebruikte manier om de omtrek van een cirkel te benaderen is om naar ingeschreven regelmatige `n`-hoeken van de cirkel te kijken en daarvan de omtrek te bepalen.
Een taartpuntje uit de n-hoek heeft een tophoek van `360/n` graden (`alpha` is de helft daarvan dus `alpha=360/(2n)`) en de basis van die taartpunt heeft een lengte van `2*sin(360/(2n))`. De omtrek van die n-hoek is `n` keer zo groot, dus `2n*sin(360/(2n))`.
Voor verschillende waarden van `n` (met hulp van een spreadsheet) kun je dan berekenen
En je ziet dat de benadering van de omtrek van de cirkel (weliswaar langzaam) naar `2*pi` klimt. Omdat het een ingeschreven `n`-hoek betreft ligt de benaderde waarde zeker onder de gezochte omtrek van de cirkel. Die serie van omtrekken vormt dus een stijgende rij ondergrenzen van de omtrek.
Tot hier ging ik ervan uit dat de cirkel een straal van `1` heeft en dus de taartpunt een schuine zijde van `1`. Wat als de cirkel een straal van `2` of `17` of, ik noem maar wat, `43` heeft? Dan wordt de taartpunt-driehoek opgeschaald met een factor `2`, `17` of `43`. En worden alle zijden, dus ook de basis met die factor vergroot. En dan wordt de benadering voor de omtrek van de cirkel dus `2n *` straal `* sin(360/(2n))`. Of, zo je wilt, `n *` diameter `* sin(360/(2n))`.
Vergelijkbaar kun je een serie omgeschreven `n`-hoeken tekenen en de omtrek daarvan als dalende rij ondergrenzen gebruiken. De omtrek van de cirkel zit mooi ingeklemd tussen beide rijen en zo kom je tot: omtrek`= pi *` diameter. Om het allemaal uit te rekenen heb je eigenlijk alleen maar een sinustabel en een tangenstabel nodig. Dat kan met de wiskunde waarover de oude Grieken al beschikten. Nothing fancy.
Toch zit er een zwak stuk in het bovenstaande verhaal en ik kwam daar pas onlangs achter. Er ligt namelijk een verstopte à priori veronderstelling aan ten grondslag. Zie je welke?
De a priori veronderstelling is dat de omtrek van de cirkel evenredig is met de diameter. Anders gezegd, dat er een (evenredigheids-) constante is (die we `pi` zijn gaan noemen), waarvoor de formule omtrek cirkel `= pi *` diameter geldt.
Zo’n evenredigheid tussen diameter en omtrek veronderstelt dat als de diameter verdubbelt dat dan de omtrek ook verdubbelt. Of als je de diameter `23` keer zo groot maakt de omtrek ook `23` keer zo groot wordt. Àls dat zo is, dan weet je dat de omtrekformule `c *` diameter moet zijn. En het voorgaande laat zien dat dàn die constante `6,2831…` is.
Maar hoe kun je zeker weten dat die omtrek evenredig is met de diameter? Is het in te zien dat de omtrek van een cirkel met diameter `2` inderdaad het dubbele moet zijn van die met diameter `1`? Dat valt niet mee zonder in een cirkelredenering terecht te komen. Ik heb nog geen eenvoudige manier gevonden om dat te bewijzen.
Het argument is al gauw zoiets als "dat zie je toch" of "voor de ingeschreven `n`-hoeken geldt de evenredigheid wel en die komen zo dicht te liggen bij de cirkel dat het daarvoor ook moet gelden. Gewoon "limietgeval".
Dat laatste argument is een onbetrouwbaar argument wat ik zal toelichten met een oud verhaal.
Een peloton soldaten staat na een lange mars aan het hoekpunt van een vierkant veld met tarwe. Ze moeten naar het kamp dat precies diagonaalsgewijs aan de overzijde van het veld ligt. Natuurlijk willen de soldaten, die moe zijn van een dag lopen, volgens die diagonaal gaan, dus dwars door het tarweveld. Maar dan zegt de sergeant dat het niet uitmaakt qua afstand of je via de diagonaal loopt of langs de zijden.
Kijk maar, zegt de sergeant, rode route 2 is precies even lang als rode route 1. En rode route 3 ook. En de diagonaal dus ook. Gewoon limietgeval.
Iedereen weet dat het verhaal van de sergeant ergens niet klopt, maar dat is heel lastig te weerleggen.
De ingewikkelde vraag is deze: waarom zou je de cirkel wel mogen zien als een limietgeval van regelmatige `n`-hoeken maar de diagonaal niet als een limietgeval van een trapje met `n` treden?
In een van de gangbare wiskunde methoden wordt van leerlingen gevraagd om de omtrek en diameter van een Pritt-stift op te meten, als voorwerk om te komen tot de omtrek-formule van een cirkel.
De maten die ik (met enige moeite!) opgemeten krijg zijn `85` mm voor omtrek en `26` mm diameter. Leerlingen zullen het meestal met een geodriehoek moeten doen en dat geeft (nog) onnauwkeuriger resultaten. De werkelijke omtrek ligt in mijn geval dus tussen `84,5` mm en `85,5` mm. Diameter analoog +/- `0,5` mm.
Deel je waarden van omtrek door de diameter, dan krijg je een waarde voor pi die tussen `3,189` en `3,353` ligt. De benadering ligt `1` à `7` % boven de werkelijke waarde van pi.
Die nauwkeurigheid valt me eerlijk gezegd mee, ik had een grotere afwijking verwacht.
Leerlingen die de instructies uit het boek volgen maar minder handig zijn met het meten komen op verhoudingen omtrek : diameter tussen `2,6` en `3,5`. Voor de docent is het dan nog een hele kluif om daar geloofwaardig een constante verhouding uit te destilleren met als constante pi=`3,14...`.
Natuurlijk werkt het veel beter door een groot rond voorwerp te gebruiken om omtrek en diameter van te bepalen. De meetfout van, zeg, een halve millimeter, heeft dan veel minder invloed om het resultaat van de berekening.
Ik vond bijvoorbeeld
Mijn emmer bleek helemaal niet rond te zijn. Dat leidt tot de algemene vraag hoe je er zeker van kan zijn dat een rond lijkend voorwerp ook echt rond is. Een vraag die we vervolgens met een prachtige cirkelredenering beantwoorden met: als `pi *` diameter en omtrek ongeveer gelijk zijn.
Op basis van de meetgegevens uit de tabel voorspellen leerlingen dat een diameter van `220` hoort bij omtrek `680`; en dat bij diameter `311` een omtrek van `975` hoort - de notie van evenredigheid is aanwezig.
De beste en meest overtuigende manier om te ontdekken of er een evenredigheid bestaat tussen twee grootheden is om de meetwaarden in een rooster te tekenen. Bij een evenredigheid liggen die punten op rechte lijn die door de oorsprong gaat. Punten gebaseerd op meetwaarden zouden in elk geval ongeveer op een rechte lijn door de oorsprong moeten liggen.
Zonder de rechte lijn expliciet te noemen voorspellen leerlingen dat een omtrek van 1000 mm hoort bij een diameter van ongeveer 300.
De grootte van de stippen in het Geogebra scherm verhullen natuurlijk wel een beetje dat de rechte lijn niet precies door de vier punten gaat, maar dit geeft een redelijk overtuigend beeld van het vermoeden van de evenredigheid. De rechte lijn heeft volgens Geogebra een richtingscoëfficiënt van `3,134`; net iets minder dan pi.
Eerder liep ik vast op een vooronderstelling die steeds opduikt: namelijk dat de omtrek van een cirkel rechte evenredig is met de straal. Hoe waarschijnlijk die gedachte ook is, je zou verwachten dat er een bewijs te vinden is, maar dat kan ik niet ontdekken. Zelfs de bewijzen voor omtrek `= pi *` diameter op het hoogste niveau gaan uit van diezelfde vooronderstelling.
De gangbare manier om te bewijzen dat de omtrek van een cirkel `pi*` diameter is maakt gebruik van een flinke aanloop aan wiskundige technieken: de formule voor de lengte van een kromme en van de primitieve van de functie `1/(sqrt(1-x^2))`. Geen klein bier dus.
Die algemene formule voor de lengte `L` van de grafiek van een functie `f` tussen `x`- waarden `a` en `b` is
`L= int_a^b sqrt(1+(f'(x))^2) text(d)x`
Omdat voor een kwart cirkel met straal `1` geldt `f(x)=sqrt(1-x^2)` met domein `[0, 1]` wordt de booglengte:
`L= int_0^1 1/(sqrt(1-x^2)) text(d)x`
Dit is - oh toeval - een functie waarvan de primitieve bekend is, namelijk `arcsin(x)`.Dus deze integraal is exact te berekenen: `arcsin(1) – arcsin(0) = pi/2 – 0`.De omtrek van de hele cirkel is dus `4xx` zo groot en dat is `2 pi`. Hebbes!
Maar, inmiddels zijn we overgestapt op radialen. Hoe wordt een radiaal ook al weer gedefinieerd? Met behulp van de omtrek van een eenheidscirkel. Hoe groot is die? `2 pi`. Stop er `2 * pi` in en er komt `2 * pi` uit.
Ook de gangbare ‘hoog niveau’ manier van het bepalen van de omtrek van een cirkel gaat dus uit van de veronderstelling dat de omtrek van een cirkel evenredig is met de straal. Voorlopig nog een onopgelost probleem.
Math4all: auteur Jan Speelpenning
Ik wil mij aanmelden voor:
