In de wiskunde wordt er natuurlijk naar gestreefd om zo zorgvuldig mogelijk met notaties om te gaan!
Tsja..., was het maar waar.
Helaas barst het van de inconsequenties. En mede dat maakt wiskunde voor scholieren soms lastig te begrijpen. Zeker als je daar als docent weinig inzicht in hebt, maar klakkeloos vreemde notaties zonder toelichting gebruikt.
Vervolgens trekken we vaak op toetsen punten af voor notatiefouten terwijl die in de wiskunde toch nogal vaak voorkomen. Kijk maar naar deze notaties voor een samengestelde breuk.
In dit artikel probeer ik een beeld te geven van welke notatieperikelen en slordig taalgebruik er in de wiskunde zijn. Ik zou het leuk vinden als mensen die nog andere merkwaardige notaties tegenkomen, dit zouden melden.
OK, ik zet even naast elkaar: `2 1/3`; `213`; `21a`.
In deze drie notaties wordt van alles weggelaten en dat gebeurt niet heel consequent. Zo is:
Nu kun je best zeggen dat de laatste twee notaties netjes zijn afgesproken, gedefinieerd.De tweede is de manier waarop ons decimale getalstelsel is ingericht.De derde is gebaseerd op de afspraak dat het vermenigvuldigingsteken mag worden weggelaten bij het werken met variabelen. Maar daar gaat het al een beetje raar, want is dan `21a` niet `2*1*a`? Nou nee zeg je dan, want `21` is een getal in de decimale notatie. En dat moet je dan als leerling vaak allemaal zonder veel toelichting begrijpen... En even terugkerend naar de eerste: `2 1/3` is gewoon een notatiefout! Dit moet je gewoon schrijven als `2 + 1/3`.Maar ja, dan moet je `2 1/3 - 1 3/4` schrijven als `2 + 1/3 - (1 + 3/4)`. Dat is natuurlijk wel duidelijker te begrijpen, maar ook meer schrijfwerk. De problematiek hierachter wordt onmiddellijk duidelijk als in de bovenbouw een grafische rekenmachine wordt ingevoerd zonder onmiddellijk zichtbare breukentoets. Het is echt lachen als je bij het invoeren van `2 1/3` in het scherm ziet `2\ 1//3` met antwoord `7`.
En dan heb je dat inconsequente gebruik van bepaalde tekens voor verschillende dingen.
Neem het minteken. Dat wordt gebruik voor de actie (bewerking) "twee getallen van elkaar afrekken", maar ook vaak voor het aanduiden voor het negatieve getal. En zo is `2 - -3` eigenlijk iets raars. Voor het negatiefteken moet je gewoon een iets kleinere (en iets hoger geplaatste?) min gebruiken, b.v. `2 - text(-)3`. Gelukkig doen veel rekenmachines dat tegenwoordig ook. Maar pas op met idioterie als `- - = +` en dergelijke. Dat is alleen verwarrend.
En dan het deelteken. Dat wordt gebruikt voor de actie "twee getallen delen", maar vaak ook voor de breuk als uitkomst van die deling. Ik pleit ervoor om de horizontale breukstreep alleen te gebruiken voor een breuk als getal, als object, als uitkomst van een deling. En voor het delen een teken zoals `:` of `//` of `-:` te gebruiken. Mijn voorkeur zou zijn `-:` omdat dit geen gewoon leesteken is. Maar het schrijft wat vervelend en met de schuine streep valt ook te leven, al heb je dan vaker haakjes nodig. De dubbele punt wordt veel gebruikt voor verhoudingen, zoals een schaal op de kaart. En dat maakt dit teken minder geschikt, want een verhouding van `2 : 5` is iets heel anders dan `2/5` deel.
Laat ik het ook eens hebben over de decimale komma versus de decimale punt. De decimale komma wordt vooral in Europa (en Oekraïne, Rusland, etc) gebruikt. Engelstalige landen, China, India, Japan, allemaal gebruiken ze de decimale punt. In feite draaien we in Europa het gebruik van punt en komma bij decimale getallen om ten opzichte van de rest van de wereld. Misschien tijd om dit ooit eens op elkaar af te stemmen.
Ook het cursief noteren van variabelen in geschriften is nog wel een dingetje. De afspraak is helder: variabelen worden cursief gezet, getallen niet. Maar toch zie ik vaak getallen als `pi` en `text(e)` cursief gedrukt. Fout natuurlijk, want wat moet je dan met iets als `e(e+1)` als je `e(text(e)+1)` bedoelt? De cursieve `e` is een variabele, de `text(e)` het getal.
Tenslotte het vermijden van haakjes. De lange breukstreep en de lange streep aan het wortelteken zijn manieren om haakjes te vermijden. Daar moet een leerling goed van doordrongen worden want fouten zijn zo gemaakt: `6/(2+3) != 6//2+3` en `sqrt(9+16) != sqrt(9) + 16`.
Een veel voorkomende fout is het opnemen van eenheden in formules. In de meeste formule-editors worden die dan cursief. Dat is fout, want het zijn geen variabelen. Bij het werken met formules moet je er altijd voor zorgen dat de eenheden afzonderlijk worden benoemd en zoveel mogelijk op elkaar afgestemd. Je rekent dan binnen die formules en met die formules. Pas op het eind voeg je de juiste eenheid weer toe.
Ook wordt er slordig met voorvoegsels omgegaan:
En weer moet je dat als leerling maar slikken.
En wanneer is iets nou precies een eenheid?
Hoe zit het met graden? Is dat een eenheid? Het lijkt me wel. Er zijn tenslotte ook centigraden. Toch worden gradentekens in de schoolboekjes vaak gewoon binnen een functie gezet: `sin(30^@)`. Gelukkig behandelen rekenmachines graden wel als eenheid en moet je het verschil tussen `sin(30)` (met `30` in graden) en `sin(30)` (met `30` in radialen) instellen op je machine.
En procenten? Zijn dat eenheden?
Het eerste notatieprobleem is al het gebruik van de decimale punt in plaats van de decimale komma. Maar daar zijn we in Nederland inmiddels wel aan gewend. Wel moet gezegd dat het enigszins merkwaardig is dat sommige fabrikanten van die machines geen Europese variant leveren, of het mogelijk hebben gemaakt om dat in te stellen...
Tegenwoordig hebben veel rekenmachines een negatiefteken (vaak `(-)`) naast het minteken bedoeld voor het van elkaar aftrekken van twee getallen. Een goede zaak, helaas hebben ze niet allemaal die oplossing ingebouwd.
Een rare notatie blijft `sin^(text(-)1)` in plaats van `arcsin`. Die notatie komt van het noteren van een inverse functie als `f^(text(-)1)` in plaats van `f^(text(inv))`. Hij is niet correct omdat iets tot de macht `text(-)1` doen op dezelfde manier wordt geschreven.
De breukentoets op de rekenmachine is natuurlijk bedoeld om het maken van fouten bij het rekenen met breuken te vermijden. Aan de andere kant betekent dit vaak dat leerlingen daar weinig meer van begrijpen. Een voordeel of een nadeel?
Hierbij hoort eerst een waargebeurd verhaal. Ik wees bij wiskunde B op de definitie van de afgeleide netjes in het boek:
`lim_(h rarr 0) (f(x+h)-f(x))/h = f'(x)`
Komt een leerling bij me met deze uitwerking (en de opmerking dat een afgeleide toch gewoon gelijk is aan de functie zelf):
`lim_(h rarr 0) (f(x+h)-f(x))/h = lim_(h rarr 0) (fx+fh-fx)/h = lim_(h rarr 0) (fh)/h = lim_(h rarr 0) f = f`
Gelukkig was haar opmerking dat afgeleide en functie gelijk waren nog enigszins vragend gesteld. Zo van... hoe kan dit? Maar ik realiseerde me op dat moment hoe fout het is om een functienaam cursief te schrijven: `f` in plaats van `text(f)`. Zo wordt `f` gewoon een variabele en kun je dus ook gewoon haakjes wegwerken. Functienamen horen niet cursief te zijn, de namen `sin`, `cos`, `tan`, `log` zijn dat ook niet. Zo zou je moeten schrijven `lim_(h rarr 0) (text(f)(x+h)-text(f)(x))/h = text(f')(x)`. En ook bijvoorbeeld niet `(dy)/(dx)` maar `(text(d)y)/(text(d)x)`.
Verder is een notatie als `y(x)` totaal verwarrend. Zoiets moet zijn `y = text(f)(x)`. En zelfs daarbij moet je echt aandacht geven aan het verschil in de betekenis van de twee sets haakjes in `text(f)(x) = 3(x-1)^3 + 5`.
En dan heb je nog de kretologie rond karakteristieken van functies. Er wordt gesproken van nulpunten, maar in Nederland wordt daar alleen de `x`-waarde van een snijpunt met de `x`-as bedoeld. Niet zo handig: een punt van een grafiek van een functie van één variabele heeft twee coördinaten. Er wordt gesproken van toppen en extremen, daar is het verschil duidelijk: toppen zijn locale "hoogtepunten" of "dieptepunten" van een grafiek en hebben dus coördinaten en extremen zijn alleen `y`-waarden. Maar wat te doen met randextremen? Ik weet niet van een heldere afspraak of je dan ook van "toppen" kunt spreken.
In de meetkunde is ook wel slordig taalgebruik aan te wijzen:
En ook in de statistiek en kansrekening zijn notaties en taalgebruik nogal een uitdaging:
Slordig taalgebruik en slordige notaties maken het aanleren van wiskunde niet gemakkelijker, zorgen eerder voor verwarring.
Wie heeft nog nooit gezegd "sommen maken" als je het maken van de opgaven/opdrachten bedoelt, terwijl je best weet dat een "som" de uitkomst van een optelling is en niks anders. Natuurlijk geen ramp, maar als je dan naar de som van twee getallen vraagt kun je ook verwachten dat het niet duidelijk is wat je nu met die twee getallen moet doen. Het begrip "som" wordt vaag...
En zo is het ook met onjuiste notaties, met slordige notaties. Het correcte begrip vervaagt.
Als je wiskundige berekeningen met de hand schrijft is het erg lastig om bijvoorbeeld verschil te maken tussen cursief en niet cursief. En moet je de vorm van haakjes wel erg netjes maken. Maar bij zetsel in wiskundeboeken ligt dat toch anders: daar kun je dit verschil wèl laten zien.
Nu lijkt het onvermijdelijk dat dezelfde tekens voor verschillende begrippen worden gebruikt. Haakjes zijn wel het sterkste voorbeeld. In algebraïsche bewerkingen beïnvloeden ze de rekenvolgorde, en kun je ze wegwerken, dan wel terughalen door ontbinden. Bij functies krijgen ze daarnaast nog de betekenis van het aanduiden van welke variabele een functie afhangt. En bij coördinaten betekenen ze weer wat anders en ook bij vectoren komen haakjes en weer een andere betekenis voor. En dan heb je nog combinaties in telproblemen. En matrices. En er is vast nog wel meer te bedenken. En dat zijn nog alleen de haakjes `(` en `)`. Maar er is ook nog sprake van `[` en `]`, van `{`, etc.
Het lijkt me van belang om je dit als docent te realiseren en bij opbouwen van een nieuw begrip ook te benoemen. Hopelijk versterkt dit het begrip bij leerlingen.
Math4all
Links naar andere sites over dit onderwerp:
» Decimalen in Wikipedia » Lijst van wiskundige symbolen (Wikipedia) » Overzicht wiskundige notaties
Ik wil mij aanmelden voor:
