Newton

De tijd van Newton

Newton leefde in Engeland in de tijd dat er in West-Europa op het gebied van wiskunde en natuurwetenschappen enorme stappen waren gezet. Descartes bedacht het assenstelsel en het wereldbeeld waarin de wereld kon worden beschreven als een grote machine, o.a. Wallis gebruikte het begrip functie, Galileï zette de eerste stappen richting moderne experimentele natuurkunde, Copernicus en Kepler deden het beeld van aarde en planeten die om de zon draaien ontstaan, etc.
In Engeland zelf werd door mensen als Boyle, Hooke en Halley op deze theorieën verder gestudeerd.

Engeland beleefde in de tijd van Newton een turbulente periode op het gebied van de regerende macht. In Newton's jeugd was Engeland na het afzetten van koning Charles een soort van republiek, Protectoraat onder leiding van Oliver Cromwell, maar na diens dood in 1658 werd na verloop van enige tijd de monarchie weer hersteld: Charles II was staatshoofd van 1660 - 1685. Maar in feite werd er in het parlement gestreden om de macht door aanhangers van de verschillende kerken (Anglicaanse kerk, Katholieke Kerk, e.a.), waarbij steeds meer de Anglicaanse kant de overhand kreeg, terwijl de koning katholiek was.

In 1685 werd Charles II opgevolgd door James II die probeerde de Katholieke kant weer de overhand te laten krijgen. Maar vanuit het parlement waren er tegenkrachten die in 1688 zorgden voor het afzetten van James II door de protestantse stadhouder Willem III van de Verenigde Nederlanden (die getrouwd was met de Engelse prinses Mary). Willem werd daarop naast stadhouder ook koning van Engeland tot zijn dood in 1701. Er was toen geen troonopvolger behalve prinses Anne, de jongste dochter van James II en die regeerde van 1702 - 1714. Maar de troonopvolging werd geregeld in een Act of settlement, waarin Sofia van Hannover de kleindochter van James I tot troonopvolger werd aangewezen en werd bepaald dat het Engelse staatshoofd Anglicaans diende te zijn. Vandaar dat na de dood van Anne de keurvorst van Hannover als George I koning van Engeland werd.

 

 

 

Over Newton

Isaac Newton werd geboren in het gehucht Woolsthorpe in het graafschap Lincolnshire. (Omdat in Engeland in die dagen onze huidige Gregoriaanse kalender nog niet was ingevoerd, is zijn geboortedatum volgens de toenmalige kalender op eerste Kerstdag 1642, volgens onze kalender echter op 4 januari 1643.)
Isaac's vader was een hereboer (dus in goede doen) en stierf enkele maanden voor zijn geboorte. Zijn moeder Hannah Ayscough hertrouwde met Barnabas Smith, een welgestelde predikant en verhuisde. De jonge Isaac bleef 9 jaar lang achter op het landhuis in Woolthorpe bij zijn grootouders (de ouders van zijn moeder). Hij heeft dit nooit kunnen accepteren en waarschijnlijk zijn latere psychotische trekjes in zijn karakter aan deze eerste levenservaring te wijten. Toen zijn stiefvader in 1653 stierf bleef Isaac Newton op het landhuis in Woolthorpe wonen met zijn moeder, zijn grootmoeder en zijn halfbroer en -zusters. Isaac ging daarna naar de "Free Grammar School" in Grantham, een dorp in de buurt, maar echt een succes was dat niet: op rapporten verschijnen opmerkingen als "lui" en "onoplettend". Hij werd van school gehaald, maar bleek ook weinig interesse te hebben voor de rol van landeigenaar.

William Ayscough, zijn oom, besliste dat Isaac maar naar de universiteit moest gaan en daarom eerst opnieuw naar de "Free Grammar School" in Grantham moest om zijn vooropleiding af te maken. Hij was in de kost bij het hoofd van de school, de heer Stokes. Nu waren zijn resultaten kennelijk zoveel beter dat het voortzetten van zijn studie op de universiteit mogelijk werd.

Op 5 juni 1661 ging Isaac Newton dan ook naar Trinity College in Cambridge (de universiteit waar zijn oom ook op had gezeten). Newton ging er rechten studeren, maar in het derde studiejaar kon hij een paar onderwerpen naar keuze studeren en hij raakte geïnteresseerd in filosofie (Descartes en Hobbes) en in natuurkunde (Boyle, Galileo en Kepler). Hij legde zijn gedachten uit die tijd neer in een boekje dat hij "Quaestiones Quaedam Philosophicae" ("Zekere filosofische vragen") noemde. Daarin is te zien, hoe al in 1664 Newton's ideeën vorm begonnen te krijgen. Het motto van dit boekje was: "Plato is mijn vriend, Aristoteles is mijn vriend, maar mijn grootste vriend is de waarheid". Newton's interesse in de wiskunde ontstond waarschijnlijk na het lezen van een boek over astronomie waarin hij de wiskunde (met name de goniometrie) niet begreep. Hij begon toen met "De elementen" van Euclides (in het Latijn, want alles gebeurde toen op universiteiten in het Latijn) te lezen. Daarna volgden "Clavis Mathematica" van Oughtred en "La Géométrie" van Descartes. Algebra en analytische meetkunde leerde hij uit Frans van Schooten's editie van Vieta's verzamelde werken. En zo bestudeerde hij nog veel meer wiskundige verhandelingen uit die tijd. Uit Wallis' "Algebra" haalde hij zijn eerste inspiratie tot eigen wiskundige arbeid; hij bewees enkele stellingen uit het boek van Wallis opnieuw en op een andere manier.

 

In de zomer van 1665 moest de universiteit zijn deuren sluiten in verband met het uitbreken van de pest. Newton keerde noodgedwongen terug op het landgoed in Lincolnshire. Maar in de daarop volgende twee jaren begonnen zijn ontdekkingen op het gebied van de wiskunde en de natuurkunde. Hij legde er de fundamenten voor de differentiaal- en integraalrekening (die hij fluxierekening noemde). Verder bedacht hij toen de eerste versies van zijn drie beroemde bewegingswetten. Hij publiceerde zijn resultaten echter niet.
Toen de universiteit van Cambridge in 1667 (na het woeden van de pest) weer opende, ging Newton terug om af te studeren en om een baan aan die universiteit te krijgen. In 1668 werd hij "fellow" van het Trinity College.

In 1663 had professor Isaac Barrow de Lucasiaanse leerstoel in de wiskunde in Cambridge gekregen op het moment dat hij een 'fellow' werd van het Trinity College. Hij ontdekte in de jaren daarop langzamerhand het wiskundig genie van Newton en toen hij in 1669 zijn leven verder ging wijden aan het geloof droeg hij Newton als opvolger voor. Newton werd zo hoogleraar zonder lesgevende taak, maar met de verplichting een jaarlijkse serie lezingen te houden.

Newton's eerste serie lezingen na het aanvaarden van die leerstoel ging over optica. Hij was in de twee jaren waarin hij in het familielandhuis moest verblijven tot de conclusie gekomen dat wit licht uit meerdere componenten (een spectrum van kleuren) bestaat. Daarmee kon hij chromatische abberatie van lenzen in telescopen verklaren.

 

In 1672 werd Newton gekozen tot lid van de Royal Society na een telescoop te hebben geschonken die niet uitging van het gebruik van lenzen (en de onvermijdelijke lichtbreking), maar werkte op basis van weerkaatsing van licht. In dat jaar publiceerde hij een eerste wetenschappelijke verhandeling over optica. Die verhandeling werd goed ontvangen, afgezien van kritiek van Robert Hooke en Christiaan Huygens over Newton's theorie dat licht uit deeltjes in plaats van uit golven zou bestaan. Hoewel het artikel redelijk was ontvangen bleef Newton huiverig voor het publiceren van zijn resultaten: hij vond roem en eer wel leuk, maar kon slecht tegen kritiek! Vooral Hooke (die een prominent lid was van de Royal Society) was in Newton's ogen de gebeten hond en Newton trok zich terug van de activiteiten van de Royal Society. Pas in 1704 (na de door van Hooke) publiceerde hij een volledig verslag van zijn onderzoekingen in de optica, in zijn boek "Opticks".

 

Met de Engelse Jezuïten in Liège had Newton intussen ook een heftige woordenwisseling over zijn kleurentheorie. Die strijd werd van Newton's kant zo heftig dat hij er in 1678 een complete zenuwinzinking van over hield. En toen zijn moeder een jaar later overleed trok hij zich in zichzelf terug. Hij correspondeerde alleen nog met vakgenoten en stortte zich helemaal op zijn onderzoekingen.
Bijvoorbeeld reageerde Newton op een brief van Hooke (die weer contact met Newton zocht) waarin deze zijn analyse van de beweging van een planeet uiteenzette. Newton vertelde daarin botweg dat hij niet wenste te corresponderen, maar er ontstond tussen beiden toch een briefwisseling. Daarin uitte Hooke als eerste het vermoeden dat de zwaartekracht met het omgekeerd van het kwadraat van de afstand afnam, maar was alleen Newton in staat aan te tonen dat dit klopte met de bewegingswetten van Kepler (een resultaat dat hij al in 1666 had gevonden).
In 1684 werd Newton opgezocht door de Britse astronoom Edmund Halley die zich ook met de beweging van hemellichamen bezighield. Hij verzocht Newton om nu eindelijk zijn oplossing van dat probleem eens uit te werken en op te schrijven. Intussen hadden Newton's gedachten zich ontwikkeld richting een universele zwaartekrachttheorie gebaseerd op een werking op afstand (zonder tussenkomst van deeltjes). Dit resulteerde uiteindelijk in het beroemde boek "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" (oftewel: "Natuurwetenschap gebaseerd op wiskundige principes").
Toen de Royal Society in 1686 het manuscript van het eerste deel van dit boek kreeg te zien, begon Hooke onmiddellijk Newton van plagiaat te beschuldigen. Dat was wel wat flauw want Hooke had geen enkele onderbouwing van zijn zwaartekrachttheorie bedacht, maar hij zou al tevreden zijn geweest met een vermelding van zijn naam. Newton daarentegen reageerde op zijn overspannen wijze en haalde juist elke referentie naar Hooke uit het manuscript en weigerde het voorzitterschap van de Royal Society tot Hooke was overleden.

De publicatie van de "Principia" in 1687 zorgde ervoor dat Newton een internationale beroemdheid werd. Weliswaar werd zijn theorie van de zwaartekracht als werking op afstand (zonder tussenkomst van deeltjes) niet overal buiten Engeland meteen geaccepteerd, maar iedereen was het eens over de uitzonderlijkheid van de wetenschappelijke prestatie.

Omdat Newton een echte beroemdheid was en een gelovige protestant raakte hij verzeild in problemen tussen de het protestantse universiteitsbestuur en de Engelse koning James II die een overtuigd katholiek was en probeerde de universiteiten ook onder katholiek bestuur te krijgen. Newton werd uitverkozen tot een bemiddelaar in het conflict. Daarbij raakte hij in contact met mensen als Samuel Pepys en John Locke in Londen. Ook raakte hij bevriend met Fatio de Duillier, een Zwitserse wiskundige die in Londen woonde.
In 1693 kreeg Newton opnieuw een zenuwinzinking waarschijnlijk als gevolg van de depressieve toestand waarin hij kwam te verkeren door de godsdienstige conflicten, de conflicten rond zijn publicaties en het beëindigen van zijn vriendschap met Fatio de Duillier. Newton raakte zat van het leven in Cambridge en zocht hij een baan in Londen. Hij werd daar in 1696 directeur van de Munt, waar het Engelse geld werd gemaakt. Behalve dat hij er een rijk man van werd, vergde deze post het nodige van zijn tijd, zodat zijn wetenschappelijke werk vrijwel stopte. Verder ging hij zich in die tijd meer op religieuze studies richten.

 

Toch bleef Newton de leider van de Britse wetenschap. In 1703 (na de dood van Hooke) werd hij dan ook voorzitter van de Royal Society en bemoeide zich actief met het bestuur ervan. En in 1705 werd hij door de toenmalige koningin Anne in de adelstand verheven. Hij werd toen sir Isaac Newton.
Inmiddels had hij in 1704 twee verhandelingen toegevoegd aan de "Opticks" waarin hij zijn fluxierekening (uit 1666) publiceerde. Dit bracht hem in conflict met Leibniz die in 1684 zijn versie van de differentiaal- en integraalrekening had gepubliceerd. Er ontspon zich een heftige twist over wie nu het eerste die theorie had ontdekt. Newton speelde daarin een vuil spelletje waarin hij ter verdediging van zijn opvattingen zijn positie als voorzitter van de Royal Society behoorlijk misbruikte. Deze strijd (die ondanks Leibniz tussentijdse dood doorging) domineerde de laatste 25 jaar van Newton's leven.

In zijn laatste jaren bracht Newton nieuwe versies van zijn boeken uit en oefende hij zijn taken als voorzitter van de Royal Society en directeur van de munt uit. Zijn nicht en haar echtgenoot woonden bij hem in. Hij stierf op 31 maart 1727 (volgens onze huidige kalender).

 

 

 

Newton's fluxierekening

Al in 1669 schreef Newton een korte verhandeling getiteld "De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas" ("Over analyse met behulp van vergelijkingen met een oneindig aantal termen"). Daarin staat eigenlijk het begin van zijn fluxierekening, die hij later in 1671 beschreef in "Methodus Fluxionem et Serierum Infinitarum". Beide geschriften zijn pas veel later (resp. 1711 en 1736) gepubliceerd.

Het ging Newton bij zijn fluxierekening om het beschrijven van beweging, snelheid en versnelling. Hij redeneerde daarbij (in modernere notatie opgeschreven) ongeveer als volgt:

• Als de plaats $x$ van een punt met de tijd $t$ verandert, heette $x$ een fluent. De bijbehorende snelheid heette de fluxie, wat Newton aangaf door een $x$ met een punt erboven. De bijbehorende versnelling werd aangegeven door een $x$ met twee punten erboven.
• Als de snelheid met de tijd verandert, kun je er een grafiek bij tekenen met de tijd $t$ op de horizontale as. De oppervlakte onder die grafiek is dan de afgelegde weg $x\left(t\right)$.
• Stel dat voor die afgelegde weg een formule geldt als $x=a\cdot t^p$.
  Deze formule geldt dan voor de oppervlakte onder de grafiek. Als de tijd nu met een oneindig klein stapje $o$ toeneemt, dan verandert de tijd in $t+o$ en de oppervlakte in $a\cdot {(t+o)}^p$.
• Met behulp van het door hemzelf ontwikkelde binomium van Newton liet hij zien, dat:
  $a\cdot {(t+o)}^p=a\cdot t^p+p\cdot (a\cdot t^{p-1}+\mathrm{...})$
  waarin op de stippeltjes termen staan waarin $o^2$, $o^3$, etc., voorkomen.
• De fluxie, de snelheid, is de toename van de afgelegde weg per tijdseenheid dus:
  
  $\stackrel{·}{x}=\frac{a{t}^p+o\cdot p\cdot a{t}^{p-1}+\mathrm{...}-a{t}^p}{o}=p\cdot a{t}^{p-1}$
  
  omdat alle termen waar na het delen nog $o$ in voor komt $0$ zijn (immers $o$ stelde een oneindig kleine stap voor).

 

In feite heeft Newton op deze manier een regel voor het differentiëren afgeleid. Wij zouden de fluxie de afgeleide van de fluent (de functie $x\left(t\right)$) noemen. De notatie met de punten boven de functie wordt tegenwoordig eigenlijk nooit meer gebruikt. Wij gebruiken notaties die door Leibniz zijn bedacht.

Newton zag bovendien dat het omgekeerde proces (waarbij je uitgaat van een formule voor de fluxie) leidt tot een methode om de oppervlakte onder een grafiek te berekenen. Wiskundigen noemen dat tegenwoordig integreren.
Daarmee werd ineens een methode gevonden om allerlei kwadratuurvraagstukken aan te pakken, waarin het gaat om het berekenen van de oppervlakte van het vierkant (kwadraat) dat dezelfde oppervlakte heeft als de oppervlakte onder een bepaalde kromme.

Onafhankelijk van Newton vond Leibniz enkele jaren later hetzelfde, maar vanuit een heel ander blikveld en met notaties die heel anders zijn. Leibniz publiceerde zijn resultaten echter eerder dan Newton en dit leidde tot een langdurige strijd over wie nu de bedenker van de differentiaal- en integraalrekening was.

 

 

 

Newton's werk

Newton publiceerde in feite maar twee belangrijke boeken, namelijk de "Opticks" en de "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica". Beide boeken zijn grotendeels samengesteld uit verhandelingen die eerder waren gepubliceerd, maar tot een geheel zijn gesmeed.

 

Opticks

Newton's "Opticks" verscheen als boek in 1704.
Het ging over de theorie van het licht, met daarnaast onderzoekingen naar kleuren van dunne lagen, Newtonringen en lichtbreking. Hoewel Newton in eerste instantie uitging van een deeltjestheorie van licht, moest hij voor de verklaring sommige later resultaten aannemen dat licht zich in golven voortplantte.

 

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

Newton's grootste werk was dit boek over natuurkunde en de mechanica van hemellichamen. Uiteindelijk werd er een universeel geldige zwaartekrachttheorie in gepresenteerd, gebaseerd op het afnemen van de zwaartekracht van een massa met het omgekeerde kwadraat van de afstand.

Al in 1666 had Newton de eerste versies van de drie beroemde bewegingswetten. Bovendien had hij gevonden welke formule er moest gelden voor de centrifugale kracht op een lichaam dat volgens een cirkel beweegt. Maar een echte theorie van hoe dit laatste werkte had hij nog niet.
Newton's idee in 1666 was dat de zwaartekracht van de aarde de centrifugale kracht die op de maan werkte moest opheffen. Zo kwam hij aan zijn omgekeerd-kwadratische formule voor de zwaartekracht, waarbij hij gebruik maakte van de wetten van Kepler.
Na 1679 (na de briefwisseling met Hooke) vond hij bewijzen voor het feit dat de bewegingen van de planeten en de maan niet cirkelvormig maar elliptisch waren en dat dit in omvereenstemming was met zijn formule voor de zwaartekracht. Het bewijs dat zijn zwaartekrachtformule inhoud dat hemellichamen volgens ellipsen, hyperbolen of parabolen bewogen is weergegeven in Stelling 13 in Boek 1 van de tweede en de derde uitgave van de "Principia", maar niet in de eerste uitgave.

De "Principia" is zonder twijfel één van de grootste wetenschappelijke boeken die ooit zijn geschreven. Newton analyseerde er de beweging in van lichamen met en zonder weerstand en onder invloed van centripetale krachten. De resultaten werden toegepast op lichamen in cirkelbeweging, projectielen, slingeruurwerken en de vrije val op aarde. En verder werd er een universele theorie voor het elkaar wederzijds aantrekken van massa's beschreven: de zwaartekracht. Die kon worden toegepast op de beweging van planeten, kometen, de maan, maar ook op getijdenbewegingen, de precessie van de aardas, e.d.
Centraal was de gedachte van werking op afstand, dus zonder tussenkomst van deeltjes. Het duurde (vooral buiten Engeland) nog een hele tijd voor dat algemeen werd aanvaard. En in onze moderne tijd liggen die zaken weer heel anders.....

 

 

 

---

Math4all