Het invoeren van negatieve getallen blijft toch altijd weer een worsteling voor veel leerlingen.
De kunst is daarbij om een goed didactisch model te kiezen waar je het begrip zelf, maar vooral ook het optellen en aftrekken van negatieve getallen, aan kunt ophangen. Bij zo'n model moet je de begrippen positief/negatief als status van een getal combineren met het optellen/aftrekken als uit te voeren acties.
Vermenigvuldigen/delen is dan niets anders dan herhaaldelijk optellen/aftrekken.
Zo'n model moet dan ook nog enigszins realistisch zijn...
Ooit hebben mensen bedacht (omstreeks 600 n.Chr. in India en nog eerder in het Oude China) dat het handig is om naast de "gewone" positieve getallen ook zogenaamde negatieve getallen te hebben. Daarmee krijgt een getal een status: positief of negatief. Dat hing in die tijd samen met het bedenken van het getal `0`. Dan kom je ook op het idee dat er iets "onder 0" zou kunnen zijn. Tegenwoordig worden dergelijke getallen veel gebruikt, bijvoorbeeld op hoogtemeters, thermometers, in assenstelsels, en dergelijke meer. Voor leerlingen zijn ze dus gewoon in het dagelijks leven aanwezig en als zodanig geen probleem.
Maar dan moet je er iets mee doen: de temperatuur, de waterstand, gaat omhoog/omlaag. Je wilt kunnen rekenen met positieve en negatieve getallen. En dan krijg je door dat bij `2 - 10 = text(-)8` de twee mintekens een verschillende betekenis hebben: in `2 - 10` stelt het minteken een actie, een bewerking voor en in `text(-)8` stelt het minteken een status voor (negatief). Helaas gaan we daar in de praktijk erg slordig mee om en zeggen we "2 min 10 is min 8" waar we bedoelen "2 eraf 10 isgelijk negatief 8". Voor veel mensen klinkt het eerste lekker makkelijk en het tweede als wijsneuzerigheid, maar toch is het tweede correcter. In ieder getal zouden we verschillende tekens moeten gebruiken voor de bewerking en voor de status van een getal (zoals in deze tekst ook consequent gebeurt, al is het verschil niet heel groot). Gelukkig doen veel rekenmachines dat tegenwoordig ook.
Ik heb vier modellen voor het invoeren van (het rekenen met) positieve en negatieve getallen kunnen vinden. Je ziet ze in deze tabel onder elkaar:
Je ziet dat ze alle vier een model hebben voor de status van een getal: positief dan wel negatief.
Ook hebben ze alle vier een model voor de bewerkingen: optellen dan wel aftrekken.
Hier wordt uitgegaan van een heks die een enorme ketel met blokjes en ook nog extra blokjes tot haar beschikking heeft. Die blokjes zijn warm of koud, wat staat voor positief of negatief.
Verder zijn de bewerkingen indoen of uithalen, wat staat voor optellen of aftrekken.
Een berekening als `5 - text(-)3` is in dit model: in de ketel is de temperatuur `5` graden en je haalt er `3` koude blokjes uit. Daardoor wordt het `3` graden warmer in de ketel. Dus `5 - text(-)3 = 8`.
Hier wordt uitgegaan van een motortje aan een verticale getallenlijn. Het motortje staat met de neus omhoog of omlaag, wat staat voor positief of negatief. Dit is gemakkelijk aan te passen voor een horizontale getallenlijn.
De bewerkingen zijn nu blazen of zuigen (of vooruit of achteruit), wat staat voor optellen en aftrekken. Bij blazen (vooruit) beweegt het motortje in de ingestelde richting, bij zuigen (achteruit) gaat het tegen die richting in.
Een berekening als `5 - text(-)3` is in dit model: het motortje staat op `5` eenheden en hij zuigt in de stand `3` omlaag. Daardoor wordt het `3` eenheden omhoog gezogen. Dus `5 - text(-)3 = 8`.
Hier wordt uitgegaan van hoeveelheid geld (kapitaal). Die hoeveelheid is in bezit of het is schuld, wat staat voor positief of negatief.
De bewerkingen zijn nu vermeerderen of verminderen, wat staat voor optellen en aftrekken. Bij vermeerderen komt er iets bij (dat kan ook schuld zijn), bij verminderen gaat er iets af (ook dat kan schuld zijn).
Een berekening als `5 - text(-)3` is in dit model: je kapitaal staat op `5` eenheden en je vermindert een schuld van `3` eenheden. Daardoor gaat het kapitaal `3` eenheden omhoog. Dus `5 - text(-)3 = 8`.
Hier wordt uitgegaan van een vector van een bepaalde lengte. Die vector wijst in de positieve richting (kop = pijlpunt naar rechts of omhoog) of in de negatieve richting (kop = pijlpunt naar links of omlaag), wat staat voor positief of negatief.
De bewerkingen zijn nu staart-aan-kop leggen of kop-aan-kop leggen, wat staat voor optellen en aftrekken.
Een berekening als `5 - text(-)3` is in dit model: je beginvector wijst vanaf `0` naar `5` eenheden (kop bij `5`) en je legt een vector die `3` eenheden in de negatieve richting wijst met zijn kop aan de kop van de vorige vector (je loopt die vector dus achterstevoren). Daardoor gaat het resultaat `3` eenheden omhoog. Dus `5 - text(-)3 = 8`.
Bij elk van de genoemde modellen is wel wat op en aan te merken.
Het moet hier wel om een heks gaan, want natuurlijk is de eerste vraag meteen: "Hoe warm/koud is zo'n blokje?" In werkelijkheid slaat dit helaas nergens op, geen twee blokjes zijn precies even warm of koud. Maar misschien kun je een heks (een model) dit wel vergeven en net doen of het zo is.
Verder zijn de bewerkingen indoen of uithalen weinig realistisch: niemand gelooft echt dat als je in een enorme ketel met koude en warme blokjes die op `5` graden staat, er `3` koude blokjes uithaalt, de totale temperatuur ook echt `3` graden stijgt.
Kortom: erg realistisch is dit model bepaald niet. Maar het is wel te verkopen aan leerlingen. En het laat meteen zien, dat het hele rekenen met negatieve getallen een denkmodel is, bedacht door mensen. En dat is op zich niet slecht.
Zo'n motortje aan een getallenlijn bestaat natuurlijk helemaal niet. Maar denkbaar is het op zich wel. De standen "omhoog" of "omlaag" (bij verticale getallenlijn) geven eenduidig een status aan.
De acties "blazen" of "zuigen" zijn ook wel echt voorstelbaar, hoewel bij mijn weten dit nog nooit werkelijkheid is geworden binnen één motor.
En hier kun je wel zeggen als het motortje op `5` eenheden staat en hij zuigt in de stand `3` omlaag, dan zuigt het zich omhoog. Dus `5 - text(-)3 = 8`.
En ook dit model laat duidelijk zien dat het een menselijk bedenksel is, net als het rekenen met negatieve getallen.
Dit lijkt een heel realistisch verhaal: iedereen kent "bezit" of "schuld" en ook de bank rekent dit als positief of negatief.
De bewerkingen zijn nu vermeerderen of verminderen, wat ook heel logisch klinkt. Maar bij als je bij een kapitaal `5` eenheden een schuld van `3` eenheden verminderd, moet je daarvoor in de praktijk toch geld uitgeven. Maar daardoor gaat het kapitaal niet echt omhoog. Dit moet je dan ook interpreteren als iemand die je een schuld van `3` eenheden kwijt scheldt. Maar ook dan zie je je bankrekening niet stijgen. Kortom: dit wringt een beetje...
Dit is natuurlijk een sluitend model, maar wel erg abstract. Het heeft weinig met de dagelijkse praktijk van doen.
En vectoren kop-aan-staart leggen, dus "achter elkaar doorlopen" is intuïtief duidelijk, maar vectoren kop-aan-kop leggen is dat veel minder. Het is wat tegenintuïtief om een vector "tegen zijn richting in" te doorlopen.
Heb je éénmaal gekozen voor een rekenmodel voor positieve en negatieve getallen en is optellen en aftrekken duidelijk voor je leerlingen, dan zijn vermenigvuldigen en delen ook goed te verkopen.
Immers: vermenigvuldigen is herhaaldelijk hetzelfde optellen/aftrekken. Je laat dan ook de heks, het motortje, het kapitaal, de vector, hetzelfde optellen/aftrekken. Daarmee is iets als `0 + 5 xx text(-)3 = 0 + text(-)15` goed uit te leggen. En zo is ook `0 - 5 xx text(-)3 = 0 - text(-)15` goed te begrijpen. Maar hier vermenigvuldig je steeds een altijd positief getal met een positief/negatief getal. En vervolgens ga je optellen/aftrekken.
Het probleem ontstaat als je twee negatieve getallen wilt vermenigvuldigen. Dan schieten alle voorgaande modellen ineens tekort. Vreemd is dat niet, want wat stel je je in de praktijk voor bij het vermenigvuldigen van twee negatieve getallen? Ik zou het niet weten. Maar omdat je toch je theorie compleet wilt hebben, ga je er iets op verzinnen. En dan krijg je soms de (bekende) lijstjes zoals je hiernaast ziet. Daaruit wordt dan duidelijk dat het logisch is om bij het vermenigvuldigen van twee negatieve getallen toch een positieve uitkomst te krijgen. Een andere manier is redeneren met het begrip "tegengestelde": `3` en `text(-)3` zijn elkaars tegengestelde. Dus `text(-)3 xx text(-)5 = text(-)(3 xx text(-)5) = text(-)text(-)15` dus het tegengestelde van `text(-)15` en dat is `15`.
Maar hier valt eigenlijk niet meer terug te keren naar je oorspronkelijke rekenmodel voor optellen en aftrekken. Aan de andere kant maak je met bijvoorbeeld die tabellen de keuze voor een positieve uitkomst als je twee negatieve getallen vermenigvuldigt, wel aannemelijk. En meestal is dat genoeg.
En delen leid je af uit vermenigvuldigen:
Omdat `2 xx 3 = 6` is `6/3 = 2` en omdat `text(-)2 xx 3 = text(-)6` is `(text(-)6)/3 = 2`, enzovoorts.
Bij het aanleren van negatieve getallen en het rekenen ermee wordt meestal een rekenmodel gebruikt. Die rekenmodellen hebben vaak hun haken en ogen, maar lijken in de praktijk toch behoorlijk te werken als didactisch instrument. Het model van de heks is nogal gangbaar, maar eigenlijk weinig realistisch. Het model van de zuig/blaas motor lijkt iets minder vragen op te roepen, maar blijft ook een verzinsel. Het kapitaalmodel loopt niet lekker als je schuld wilt verminderen (krijg je er dan kapitaal bij?). En het vectormodel is nogal abstract en daarom misschien moeilijker te begrijpen. En geen van deze rekenmodellen is toe te passen of bijvoorbeeld het vermenigvuldigen (of delen) van twee negatieve getallen.
Een helemaal ideaal rekenmodel heb ik nog niet kunnen vinden. Maar toch blijken ze in de praktijk best redelijk te werken.
Het aardige van deze situatie is dat je door over de gebreken van de rekenmodellen te praten, duidelijk kunt maken dat het rekenen met negatieve getallen een door mensen verzonnen rekenmethode is. En dat er om het systeem compleet te krijgen bepaalde aannames worden gedaan. En die afspraken hanteren we dan allemaal.
Zorg er wel voor dat je als docent de zaken netjes houdt. Gebruik nooit kreten als "min maal min is plus" of `- xx - = +`, want over welke mintekens heb je het dan (bewerking of status)? Gebruik zeker niet "min min is plus", etc., want dat is nog onduidelijker. Maar werk met name in getypte teksten met twee mintekens, eentje voor de bewerking en eentje voor het negatief zijn van een getal. (Bij handschrift is dat wellicht lastig te realiseren, als kun je met goede spatiëring een eind komen.) En gebruik voor het vermenigvuldigen/delen tabelletjes zoals dit hiernaast.
Kijk ook heel goed uit voordat je leerlingen videoclips laat zien, of ze verwijst naar het internet. Bijna alle sites waar zogenaamd rekenen met negatieve getallen wordt uitgelegd, maken er een trukendoos van en verpesten zo alle begrip.
Math4all
Links naar andere sites over dit onderwerp:
» Negatieve getallen in Wikipedia Links naar echt goede andere websites over dit onderwerp heb ik nog niet gevonden. Bijna altijd is het gewoon trucjes aanleren... De meeste lesmethodes kiezen wel voor een bruikbaar rekenmodel.
In Euclides, het vakblad voor de wiskundeleraar staat in het nummer van juni 2024 het artikel "Min en min is plus!" van Paul Durenkamp en Sibren Stienstra over dit onderwerp. Daarin wordt ook het spel "Plusminus" (deel van de Giraf-reeks) aan de orde gesteld als een bruikbare manier om te leren werken met positieve en negatieve getallen.
Ik wil mij aanmelden voor:
