Nadoen of zelf denken?

In veel wiskundelessen legt de docent een stukje theorie uit en moeten de leerlingen dan die theorie aanleren door opgaven te oefenen die "net zo gaan". Gewoon nadoen dus. In veel gevallen doen de leerlingen dat ook braaf (maar vaak kakken ze wat in en wachten ze tot de docent het weer gaat voordoen). Zelf nadenken is er dan nauwelijks bij, er wordt hoogstens nagedaan wat er is voorgedaan. En dan word je niet geleerd om zelf te denken over het geleerde. En wat is daar mis mee?

Nadoen (imiteren) is een best belangrijke vorm van leren. Veel basisvaardigheden leer je door nadoen. Maar deze wijze van dingen leren heeft ook beperkingen. Wanneer moeten andere manieren van leren worden gebruikt? En hoe anders moet het dan?

Je wilt dat er als resultaat van jouw onderwijs een situatie ontstaat waarin leerlingen zelf aan het denken worden gezet. Eigenlijk wil je toe naar klassen waarin alle leerlingen zelf nadenken over manieren om een bepaald wiskundig probleem aan te pakken en al doende – samen met anderen – zelfstandig de verlangde wiskundekennis en -vaardigheden op te bouwen. De Canadese didacticus Peter Liljedahl noemt dit “building thinking classrooms” (afgekort BTC), vertaald bijvoorbeeld als “zelfdenkende klassen” of "denkklassen". Zijn boek over dit onderwerp is zeer de moeite waard want gebaseerd op jaren van studie in het onderwijs zelf.

Imiterend leren

Er zijn - zeker bij jonge kinderen - veel situaties waarin zaken door nadoen worden geleerd. Denk maar eens aan:

Het uitspreken van de eerste woordjes door een klein kind, pure klanknabootsing.
Leren bewegen zoals de volwassenen om je heen dat doen, echt naäpen.
Letters (of andere leestekens) en cijfers leren uitspreken en opschrijven, ook in combinaties die betekenis hebben.
En bij zowel jongeren als volwassenen ook: je weg vinden op bijvoorbeeld station Paris Nord doe je al gauw door achter (de grootste groep?) mensen aan te lopen.

Dit imiterend leren blijkt dus zeer succesvol te zijn voor specifieke vaardigheden. En dat is ook zo, zolang het om zaken gaat die je niet echt hoeft te begrijpen maar wel routinematig moet kunnen uitvoeren, of zaken die je maar één keer hoeft te doen, en zolang de voorbeelden die worden geïmiteerd ook goede voorbeelden zijn.

Anders wordt het zodra het om ingewikkelder activiteiten gaat, die je in onderlinge samenhang en in een groter geheel moet kunnen plaatsen.

Denk maar eens aan het bewegen van de mens. De basale bewegingen zijn ofwel automatisch in het lichaam geprogrammeerd (hartslag, ademhaling, voedselverwerking, e.d.), ofwel ze worden geleerd door voorbeelden uit de directe omgeving na te doen (staan, lopen, eten (anders dan de zuigreflex), woordjes gebruiken, eerste beginselen van communiceren door praten, schrijven, e.d., allerlei basisvaardigheden dus).
Maar zodra bijvoorbeeld bewegingen ingewikkelder worden is naast het voordoen ook toelichting nodig. Denk maar aan sportactiviteiten op een iets hoger niveau. Of bijvoorbeeld aan topsport waarbij de wetenschap wordt ingeschakeld om te onderzoeken hoe bewegingen zo efficiënt mogelijk kunnen worden uitgevoerd en vooral ook waarom dat het beste resultaat geeft.

En neem de taalbeheersing. In het begin boots je klanken na en leer je het dialect van je omgeving. Op school praat je ook met mensen buiten je eigen omgeving en leer je door nadoen al snel bij. Maar in de klas komen er vanaf een zeker moment ook taalregels voorbij. Daardoor moet je gaan "snappen" hoe het systeem van jouw taal "werkt". En dan zijn er ook nog andere talen.

En denk eens aan de wiskunde. Het tellen en het gebruiken van cijfers leer je door nadoen, maar het begrip dat `13` iets anders is dan `31` heeft al met afspraken en regels te maken. En bij grotere of kleinere getallen moet je echt iets weten van het tientallig stelsel.
Ook de beginselen van optellen en aftrekken leer je wellicht nog door nadoen, maar bij grotere getallen zet je ze onder elkaar en gebruik je het systeem van het tientallig stelsel. En denk aan vermenigvuldigen en delen, aan rekenen met variabelen, aan het werken met functies en grafieken, de opbouw van de meetkunde, en nog veel meer...

Maar leer je dat allemaal ook niet gewoon doordat je de regels worden verteld, worden voorgedaan? En dat je het daarna nog heel vaak oefent? Tot het "in je systeem zit"?

Wanneer en waarom werkt nadoen niet?

Nadoen werkt prima in situaties waarin je een handeling routinematig steeds op dezelfde manier moet leren uitvoeren, zonder daarbij op uitzonderingen en/of een totaalsysteem waarin de handeling moet worden opgenomen te hoeven letten. Dat werkt dus uitstekend bij “het plakken van een band”, “het in elkaar zetten van een Ikea-meubel”, e.d., ook als je dat maar één keer hoeft te doen.

Door nadoen kun je een bepaalde handeling vast wel steeds op dezelfde manier uitvoeren, maar naarmate er steeds verschillende handelingen nodig zijn binnen een complexer geheel, moet je een manier vinden om alle afzonderlijke handelingen tot één systeem te smeden en daarbinnen de onderlinge samenhang, maar ook de verschillen herkennen. Dat overstijgt het simpele nadoen. Iemand die alles heeft geleerd door nadoen, heeft een hoofd vol afzonderlijke “maniertjes” waarbinnen weinig structurele samenhang is aangebracht. Je ziet dat soms ook bij best slimme kinderen, die gemakkelijk veel kunnen onthouden en op die manier ook zelf denken dat ze de zaken goed hebben aangeleerd. Tot dat in de loop van het tweede, derde of vierde leerjaar blijkt dat ze alleen maar veel “trucjes” (vaardigheden waarvan je niet echt begrijpt wanneer en waarom je die gebruikt) kennen, maar niet meer kunnen overzien wanneer welk trucje werkt. Die gaan dan afhaken bij wiskunde en raken gefrustreerd in dit vak. Meestal is dat ook niet meer te repareren…

Om binnen complexe systemen zoals “rekenen”, “algebra”, “meetkunde”, e.d., te kunnen werken, moet er een systeem worden opgebouwd binnen je hoofd, gebaseerd op weliswaar eenvoudige grondvesten, maar met veel onderlinge verwevenheid. Je moet een echt denkschema, een cognitief schema, opbouwen. Richard Skemp schreef al in de jaren ’70 van de vorige eeuw: Iets begrijpen betekent dat het geassimileerd wordt in een passend schema (of er moet accommodatie van dit schema plaatsvinden) (uit: “Wiskundig denken”, of “The psychology of learning mathematics”).
En ook dit is van Skemp:

De centrale plaats die het schema inneemt als hulpmiddel bij het leren brengt met zich mee dat als in het begin van een leerproces verkeerde schema’s zijn opgebouwd, het assimileren van latere begrippen veel moeilijker, zo niet onmogelijk zal zijn. (Met “verkeerd” wordt ook “geen” bedoeld.)
Voordat hij daadwerkelijk zijn leerlingen (onverschillig van welk leeftijd) tegemoet treedt, heeft de wiskundeleraar twee belangrijke dingen te doen:
(1) de begrippen te analyseren waaruit de stof is opgebouwd, gevolgd door
(2) een zorgvuldige planning van de manier waarop de noodzakelijk schema’s ontwikkeld kunnen worden, met speciale aandacht voor de stadia waarin van de leerling een accommodatie van zijn schema’s verlangd wordt.
Het uiteindelijke criterium voor alle wiskunde is verenigbaarheid, met zichzelf, d.w.z. interne consistentie, en met het grotere wiskundige stelsel waar het deel van uitmaakt.

Kennelijk gaat het niet om het nadoen van losse kennis en technieken, maar om het opbouwen van een denkschema.
Het gegeven dat er toch veel wordt voorgedaan/nagedaan in onze onderwijspraktijk heeft alles te maken met het korte termijn succes van deze praktijk. En dat ligt vooral aan onze zwaar overdreven toets cultuur. We toetsen in ons onderwijs meestal kleine leerstofeenheden, waarbinnen het aantal te leren begrippen en technieken beperkt is. Voor leerlingen is het dan vaak te behappen om drie of vier “techniekjes” in hun hoofd te stampen (met de herkenningspunten wanneer ze moeten worden ingezet) en ze halen een goed resultaat op de toets. Vooral leerlingen met veel geheugencapaciteit op dit gebied kunnen zo heel lang meekomen zonder op toetsen door de mand te vallen. Maar dat houdt heel vaak op zeker moment op, namelijk als blijkt dat ze (door altijd op die manier te hebben geleerd) door de bomen het bos niet meer zien.
Dan is opeens duidelijk hoe rampzalig de strategie die op louter voordoen/nadoen is gebaseerd, uitpakt.

Een probleemgestuurde aanpak

We kennen in de didactiek van het Nederlandse wiskundeonderwijs al sinds de jaren ‘70 het OOV-model, gebaseerd op het OSAEV- model van Joop van Dormolen en anderen. Grofweg verloopt het leerproces daarbij via de fasen Oriënteren, Opbouwen, Verwerken. Bij het oorspronkelijke OSAEV-model was Opbouwen opgesplitst in Sorteren, Abstraheren en Expliciteren, wat duidelijker aangeeft dat Opbouwen niet alleen uit voordoen/nadoen bestaat, maar een echt leerproces behelst:

Sorteren: door (non)voorbeelden en activiteiten de leerstof goed leren kennen.
Abstraheren: daarbij een abstractieproces doorlopen.
Expliciteren: de aangeleerde theorie op een rijtje krijgen.

Maar daarbij kan de docent nog steeds zelf de regie voeren en misschien zelfs leerlingen aan de hand meenemen, echter van alleen voordoen/nadoen is zeker geen sprake meer.
Ook is al geruime tijd duidelijk dat het belangrijk is dat de leerling in dat OOV-model een actieve rol heeft. Steeds meer is men in Nederland en elders gaan beseffen dat een probleemgestuurde aanpak helpt bij het zich eigen maken van leerstof door de leerlingen. Denk bijvoorbeeld aan het boekje “Rijk aan betekenis” (Visie op vernieuwd wiskundeonderwijs) waarin het belang van denkactiviteiten nadrukkelijk aan de orde wordt gesteld. Toch wordt dit ook hierin nog niet echt toegepast om leerlingen meer zelf te leren denken bij het opbouwen van de leerstof, nog steeds staat de docent als regisseur van dat proces centraal. Maar er is op dat gebied wel nieuw onderzoek gepleegd. Met name Peter Liljedahl uit Canada, en ook de van oorsprong Britse Jo Boaler laten andere geluiden horen. Geluiden die vaak worden ondersteund door jarenlang wetenschappelijk onderzoek. Het lijkt erop dat er is ontdekt dat een veel meer probleemgestuurde aanpak ook bij de opbouw van kennis, met een sterk verhoogde autonomie van de leerling vaak in samenwerking met medeleerlingen, veel beter werkt om te bereiken dat leerlingen zelf gaan denken.

Onderzoek van Liljedahl

Peter Liljedahl heeft – samen met anderen – jarenlang bestudeerd wat er in klassen gebeurde tijdens het wiskundeonderwijs. Hij constateerde dat er meestal sprake was van een situatie waarin de docent uitlegt, de leerlingen geacht worden te luisteren, mee te denken en aantekeningen te maken en vervolgens worden uitgenodigd om zelf aan de slag te gaan met opgaven op papier.
Bijna altijd bleek dat leerlingen op deze manier niet zelf nadenken omdat:

de uitleg niet echt boeiend voor ze is;
ze tegelijk ook aantekeningen moeten maken, in de praktijk: overschrijven wat er “op het bord/scherm te zien is”;
de leraar het in hun optiek wel zou laten zien “hoe het moet”.

Vervolgens worden ze zelf aan de slag gezet met bijpassende opdrachten, waarop de meeste leerlingen terugvallen in de modus: “even kijken of het lukt” en dan vaak (als dit het geval is) vrij snel denken dat ze “het begrijpen”, of (als dit niet het geval is) om hulp vragen of wachten tot de docent het alsnog gaat voordoen. Zelf kennis opbouwen is er zo meestal nauwelijks bij.

Liljedahl probeerde manieren uit om dit aan te pakken en kwam zo tot een veertiental aanbevelingen. Even kort door de bocht (maar lees vooral zijn boek ook zelf):

geef leerlingen vanaf het begin van elk leerproces een uitdagend probleem om aan te pakken;
werk in willekeurig samengestelde groepjes van 2 a 3 leerlingen;
de groepjes werken staand op uitwisbare oppervlaktes met maar één schrijfstift per groepje;
het meubilair in de klas staat willekeurig opgesteld, zeker niet in rijtjes en zeker niet gericht op de docent;
de docent geeft per groepje regelmatig geschikte hints om het proces te bevorderen;
de opdracht wordt meteen aan het begin van de les gegeven, bij voorkeur mondeling;
huiswerk bestaat uit enkele opgaven “om na te gaan of je het hebt begrepen”;
leerlingen moeten leren en zich comfortabel voelen bij zelf denken en ideeën van anderen in hun eigen gedachten meenemen;
hints (ook naar verdergaande kennisvragen) dienen alleen om het proces op gang te houden en verveling, dan wel frustratie te vermijden;
er wordt vanuit het eerste idee met het werk van de leerlingen erbij een bepaald concept door de leerlingen opgebouwd, ingepast in een denkschema;
aantekeningen ontstaan alleen door eigen denken van leerlingen, het zijn de eigen gedachten van de groep;
evalueer niet zozeer de geleverde prestatie, maar het groepsproces middels een rubric;
evalueer de kennis van de leerlingen formatief, met als doel ze te laten zien hoe ver ze zijn gevorderd met het opbouwen ervan en waar ze nog aan moeten werken;
gebruik bij summatief evalueren ook andere aspecten van de studie dan alleen het kunnen maken van toetsopgaven.

Liljedahl geeft dus aan dat een probleemgestuurde aanpak beter werkt dan de traditionele werkwijze en beschrijft hoe ook de organisatie van de lessen (bijvoorbeeld werken in groepen op whiteboards tegen de muur), de wijze van vragen beantwoorden en de wijze van toetsing (vooral formatief) het leereffect kunnen verbeteren.
Hij merkt wel op dat het belangrijk is om in een drietal lessen deze opzet met leerlingen voor te bereiden. Daar horen dan “problemen” bij die niets met het curriculum te maken hebben, zoals:

Je hebt twee zandlopers om de tijd bij te houden. De éne duurt 4 minuten en de andere 7 minuten.
Je wilt een ei 9 minuten koken.
Kun je deze twee zandlopers gebruiken om de tijd bij te houden?
En hoe lang doe je daar in totaal over?

Maar na de introductielessen kun je met het wiskundeprogramma zelf aan de gang. Je kiest dan eerder problemen die de opbouw van wiskundige begrippen mogelijk maken.

Als bijvoorbeeld het onderwerp “Combinatoriek” voor het eerst aan de orde komt, kun je bijvoorbeeld met zo’n “probleem” beginnen:

Je gooit vier munten op tafel.
Laat zien dat je in de meeste gevallen twee keer “kop” en twee keer “munt” zult krijgen.

Deze vraag zal vast gaan oproepen om een overzicht te krijgen over de situatie en dus leiden tot het maken van een boomdiagram of een lijst met mogelijkheden als KKKK, KMKK, etc. Dat kun je dan via doorvragen opschalen naar meer munten, of naar pincodes, aantallen nummerborden, twee dobbelstenen, enz. Denk er om dat je hulpvragen stelt als een groepje vast dreigt te lopen, maar uitdagende vragen als de groep zich gaat vervelen… Daarmee kun je dan het aantal manieren in kaart proberen te krijgen waarop je kunt schematiseren, wanneer een boomdiagram handig is, wanneer een wegendiagram, wanneer een rooster.
Vanuit de aantekeningen die elke groep maakt, ontstaat een beeld van de mogelijke schematiseringen en zo bouwen ze met elkaar de theorie op. Die kun je dan als docent nog best even met ze samenvatten. Daarna maak je als docent ruimte voor “huiswerk” (werk om – ook individueel – de opgebouwde kennis te internaliseren).
En vervolgens is het mooi als je nog één of meer toepassingen (nieuwe “problemen” die bij het onderwerp passen) kunt laten doen.
En natuurlijk zijn er andere instapproblemen en aanvullende/uitbreidende vragen te bedenken rond dit onderwerp. Waar het om gaat is iets aan te kaarten dat het gewenste denkproces oproept, opdat de leerlingen in feite zelf een denkschema opbouwen.

In één ingekort overzicht (in het Engels) krijg je dan zoiets:

Al deze gedachten zijn gebaseerd op langdurig onderzoek, waarbij een meer probleemgestuurde aanpak is uitgeprobeerd. Dus je denkt dan, dat we nu weten welke kant het op moet met het wiskundeonderwijs. Maar kun je wel alles op deze manier goed aanleren?

Volledig probleemgestuurd werken?

Je wilt uiteindelijk dat leerlingen individueel de wiskunde begrijpen, dus er moeten plekken zijn waarin een individu ook zijn eigen kennis en vaardigheden kan opbouwen en zichzelf volledig eigen maken. Samenwerken met medeleerlingen is daarbij heel nuttig en belangrijk, in de beginfase waarschijnlijk zelfs onontbeerlijk voor de meesten van ons, maar kent ook beperkingen. Hoe weet een individu binnen een groepje zeker dat hij/zijzelf ook de gewenste kennis heeft geïnternaliseerd?

Er zullen toch momenten moeten zijn waarop je voor jezelf moet nagaan of je de leerstof begrijpt, d.w.z. gevarieerde (individuele) verwerking is nodig om zaken in te slijpen en snelheid op te bouwen bij het uitvoeren ervan en “in je systeem te krijgen”. Er is een "check your understanding" fase nodig en wellicht (verschillend per individu) iets meer.
En ook formatieve toetsing – toetsing bedoeld om de individuele voortgang in kaart te brengen – zal toch individueel moeten plaatsvinden.

Er zal dus toch altijd ruimte moeten blijven voor individuele verwerking en toetsing van de leerstof. Maar in de opbouwfase zal samenwerking en verregaande autonomie van de leerlingen de boventoon moeten voeren. Wil je het wiskundeonderwijs dus meer probleemgestuurd gaan inrichten, dan zijn vooral de eerste twee fasen van het OOV model (Oriënteren en Opbouwen) de momenten om dit te doen. Daarna is het belangrijk om samen met de leerlingen te komen tot een heldere explicitering van de Theorie. En daarna kunnen leerlingen meer individueel aan de fase Verwerken beginnen en uiteindelijk via formatieve toetsing nagaan of ze inderdaad het gewenste niveau hebben bereikt.
Ook zal er nog ruimte moeten zijn voor het (samen) oplossen van problemen die niet zijn bedoeld voor theorieopbouw, maar eerder in de categorie Toepassen vallen.

Conclusie

Mijn conclusie is dat het tijd wordt om binnen het wiskundeonderwijs veel meer probleemgestuurd te gaan werken. Daarbij moeten dan “problemen” worden gebruikt die voor een ieder vanaf het begin te behappen zijn, maar ook voldoende diepgang hebben om tot echte opbouw van de gewenste theorie te leiden. Daarbij moeten de leerlingen in hoge mate autonoom bezig kunnen zijn binnen een willekeurig samengesteld groepje medeleerlingen en uitgedaagd worden om de leerstof samen op te bouwen. Het leereffect is dan optimaal. Vervolgens zijn er momenten van meer individuele verwerking en (formatieve) toetsing nodig om iedere leerling de kans te geven om de leerstof echt te internaliseren.

Hoog tijd om lesmateriaal voor wiskunde meer in die zin vorm te geven.
Math4all gaat dat de komende tijd oppakken.

Math4all