Möbius

De tijd van Möbius

Möbius wordt geboren in een tijd waarin de Franse Revolutie en de oorlogen tussen Napoleon en Engeland, Pruisen en Rusland het gehele Westeuropese landschap beheersten. Duitsland bestond niet als eenheid, maar als een min of meer losse verzameling van Duitstalige staten. Daarvan was het koninkrijk Pruisen de belangrijkste in die jaren. In 1806 versloeg Napoleon Engeland, Pruisen en Rusland en werd Pruisen opgedeeld, vanaf 1815 (toen Napoleon beslissend werd verslagen) kreeg het land weer een deel van zijn grondgebied terug.

Het leven van Möbius speelde zich vooral af in het gebied Saksen dat (behalve in de jaren 1806 - 1815) binnen Pruisen lag. Na 1815 domineerde Pruisen samen met Oostenrijk de Duitse Bond, een samenwerkingsverband van Duitse staten. Van alle politieke en militaire strubbelingen heeft Möbius kennelijk weinig last gehad.

 

 

 

Over Möbius

August Ferdinand Möbius was enig kind van dansleraar Johann Heinrich Möbius. Zijn vader overleed toen hij drie jaar oud was. Zijn moeder Johanne Katharine Christiane Keil was een afstammeling van Maarten Lüther. Hij werd thuis opgevoed tot hij op dertienjarige leeftijd naar het Schulpforta College ging.
In 1809 werd hij student aan de universiteit van Leipzig. Hij begon met een rechtenstudie, maar ontdekte al snel dat dit niets voor hem was. Hij ging wiskunde, sterrenkunde en natuurkunde studeren. Eén van de docenten die hem daar beïnvloedde was de astronoom Karl Mollweide (1774 - 1825) die ook bekend is door de goniometrische formules van Mollweide (ook "formules van Simpson" genoemd) en de Mollweideprojectie voor landkaarten.
In 1813 studeerde Möbius astronomie in Göttingen onder andere bij Gauss. En daarna ging hij naar Halle om verder te studeren bij Johann Friedrich Pfaff (1765 - 1825), die ook ooit docent van Gauss was geweest. Al deze docenten hadden een duidelijk interesse in de mathematische aspecten van hun werk en dat had ook op Möbius zijn weerslag.
Möbius kon vanwege zijn studie deelname aan het Pruissische leger vermijden. In 1815 studeerde hij af op "De computandis occultationibus fixarum per planetas" (de berekening van stereclipsen door planeten). En in 1816 werd hij meteen benoemd tot buitengewoon hoogleraar in de astronomie en de hogere mechanica aan de universiteit van Leipzig. Ook werd hij - op aanbeveling van Gauss - observator van de sterrenwacht van Leipzig. Vanaf 1818 tot 1821 leidde hij de heropbouw van die sterrenwacht.
In 1820 trouwde hij met Dorothea Rothe en samen kregen ze een dochter en twee zoons.

Tot zijn teleurstelling werd Möbius niet snel tot gewoon hoogleraar benoemd. Hij bleek geen populaire leraar te zijn en moest gratis college geven om te zorgen dat er ook inderdaad studenten op af kwamen. Hij kreeg wel enkele aanbiedingen van buiten Leizig, maar hij wilde niet uit Saksen vertrekken mede omdat hij in de kwaliteit van Leipzig's universiteit geloofde. Zelfs na de dood van Mollweide in 1825 werd hij gepasseerd voor die positie. In 1836 schreef hij "Die hauptsätze der Astronomie". Pas in 1844 kreeg hij een baan als gewoon hoogleraar aan de universiteit van Leipzig op grond van zijn verdienste als onderzoeker.

Möbius publiceerde zijn wiskundige werk vooral in het "Journal für die reine und angewandte Mathematik", het oudst bekende nog bestaande tijdschrift voor wiskunde opgericht in 1826 door August Leopold Crelle, kortweg Crelle's Journal. Zijn "Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie" (Barycentrische analyse: een nieuw hulpmiddel voor de analytische behandeling van de meetkunde) uit 1827 werd een klassieker. Verder is zijn naam verbonden aan de Möbiusfunctie die hij in 1831 in een het artikel "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen" introduceerde. In 1837 publiceerde hij het "Lehrbuch der Statik" met een meetkundige behandeling van de statica.
In 1844 vroeg Hermann Grassmann (1809 - 1877) hem om een kritiek te schrijven over zijn hoofdwerk "Die lineare Ausdehnungslehre", een eerste opzet van de lineaire algebra. Möbius voelde zich onbevoegd in dit te doen en schreef geen review. Wel overtuigde hij Grassmann om een meetkundig probleem gesteld door Leibniz op te lossen en dat gebeurde ook.
En in 1858 beschreef Möbius in zijn memoires de "Möbiusring", die hij ontdekte bij het werken aan veelvlakken. Hij overleed in 1868.

 

 

 

Werk van Möbius

De Möbiusband

De Möbiusband of Möbiusring is een ruimtelijke figuur met slechts één aaneengesloten rand en één oppervlak. Je kunt hem maken door een strook papier te pakken, één van de uiteinden een halve slag te draaien en dan beide uiteinden aan elkaar te plakken.

 

De Möbius transformatie

De Möbius transformatie is een functie van de vorm `f(z) = (a*z+b)/(c*z+d)` waarbij `z` een complex getal is. De volgende (engelstalige) video van Douglas Arnold en Jonathan Rogness maakt dergelijke transformaties mooi zichtbaar.

 

 

De Möbius functie

De Möbius functie `mu` is een belangrijke functie in de getaltheorie en de combinatoriek.
Hij is voor strikt positieve gehele getallen `n` gedefinieerd door:

• `mu(n) = 1` als `n` een positief kwadraatvrij geheel getal is met een even aantal verschillende priemfactoren.
• `mu(n) = -1` als `n` een positief kwadraatvrij geheel getal is met een oneven aantal verschillende priemfactoren.
• `mu(n) = 0` als `n` niet kwadraatvrij is.

Zo kun je zelf nagaan dat `mu(1)=1` (`0` priemfactoren), `mu(2) = -1` (`1` priemfactor), `mu(3) = -1`, `mu(4) = 0` (kwadraat), `mu(5) = 1`, `mu(6) = 1` (`6=2*3` dus `2` priemfactoren), `mu(7) = -1`, `mu(9) = 0`, `mu(10) = 1`, `mu(11) = -1`, `mu(12) = 0` (`12 = 4*3` bevat een kwadraat), enzovoorts. Maak zelf een grafiek van deze functie.

 

 

 

---

Math4all