Mandelbrot

Benoît Mandelbrot (1924 - 2010) was een van oorsprong Pools wiskundige die op het laatst werkzaam was aan de Yale University in New Haven, Connecticut, USA. Nadat het gezin Mandelbrot in 1936 naar Frankrijk verhuist, wordt door zijn oom (die professor in de wiskunde was in Parijs en zijn opvoeding ter hand neemt) zijn belangstelling voor de wiskunde gewekt. Na zijn wiskundestudie aan de Ecole Polytechnique in Parijs gaat Mandelbrot naar de V.S. en studeert aan het California Institute of Technology.
In 1952 behaalt Mandelbrot zijn doctoraal diploma in Parijs. Hij verblijft daarna afwisselend in de V.S. en in Frankrijk (waar hij trouwt). In 1958 vestigt Mandelbrot zich echter definitief in de V.S. Hij werkt daarna zowel bij IBM als aan diverse universiteiten als hoogleraar. Vanaf 1970 verricht hij daar studie naar de ideeën van Gaston Julia. Hij weet met zijn visuele kijk op de wiskunde de Julia-verzamelingen in beeld te brengen met de computer en ontdekt de fractalen. Eén van de bekendste typen fractalen is de Mandelbrot-verzameling. Zijn theorie legt hij neer in "The fractal geometry of nature" (uit 1982).
Ook is Mandelbrot intussen verbonden aan Harvard University (voor toegepaste wiskunde en voor economie), maar ook aan universiteiten en hogescholen en op andere vakgebieden werkzaam. Hij laat zien dat fractalen in heel veel verschillende vakgebieden voorkomen. Met zijn werk verdient hij meerdere prijzen en een eredocoraat aan St.Andrews University. Op 14 oktober 2010 is Mandelbrot overleden.

» Meer over Mandelbrot
» De tijd van Mandelbrot
» Fractalen

Over Mandelbrot-verzamelingen en fractalen:
» De Mandelbrot-verzameling

De tijd van Mandelbrot

Mandelbrot is geboren in Polen in de tijd tussen de twee Wereldoorlogen in de vorige eeuw. In 1936 (na de opkomst van het Hitler-regime in Duitsland) verhuisde het Joodse gezin van Polen naar Frankrijk. Aan het begin van de Tweede Wereldoorlog vluchtten ze naar Tulle in centraal Frankrijk en kon de jonge Benoît jarenlang maar nauwelijks naar school. Aan het einde van de Tweede Wereldoorlog kon Mandelbrot in Parijs zijn studie wiskunde beginnen, die hij in de V.S. voortzette en uiteindelijk in Parijs afmaakte.

Daarna ging hij werken bij IBM en maakt derhalve de opkomst en de explosieve ontwikkeling van de computer van zeer nabij mee. Dat stelde hem ook in staat om als één der eersten de computer in te zetten bij wiskundig onderzoek, in dit geval naar de Julia-verzamelingen.

Over Mandelbrot

Benoît Mandelbrot is in 1924 in Warschau in Polen geboren. Zijn vader was een handelaar in kleding, zijn moeder was dokter. In 1936 verhuisde het gezin naar Frankrijk en Benoît's oom Szolem Mandelbrojt, die professor in de wiskunde was aan het Collège de France in Parijs, nam zijn opvoeding ter hand. Mandelbrot werd tot aan het uitbreken van de Tweede Wereldoorlog leerling van het Lycée Rolin in Parijs. Bij het uitbreken van de Tweede Wereldoorlog verhuisde hij met zijn ouders naar Tulle in centraal Frankrijk.
Daarmee brak een moeilijke tijd voor Mandelbrot aan. Vanwege de voortdurende armoede en de strijd om te overleven onder de Duitse bezetting kon hij maar af en toe in Lyon naar school gaan. Hij moest grotendeels zichzelf de vereiste kennis bijbrengen, wat er toe leidde dat zijn benadering van de wiskunde sterk werd gebaseerd op een verbluffend meetkundig inzicht zodat hij wiskundige problemen liever meer visueel dan abstract algebraïsch benaderde.

In 1944 deed Mandelbrot toelatingsexamen tot de École Polytechnique in Parijs. Hij slaagde daar met glans voor en werd toegelaten. Daar studeerde hij onder leiding van Paul Lévy, ook een wiskundige met een sterke invloed op Mandelbrot. Nadat hij zijn studie aan de École Polytechnique had afgesloten, ging Mandelbrot naar de V.S. en bezocht hij het California Institute of Technology. Hij verkreeg zijn doctoraal diploma in 1952 aan de universiteit van Parijs.

Na een korte periode in Princeton aan het Institute for Advanced Study, waar hij werd gesteund door John von Neumann, keerde Mandelbrot in 1955 terug in Frankrijk. Hij trouwde in die periode met Aliette Kagan.
Over het wiskundige klimaat in Frankrijk was hij echter minder tevreden: met zijn meer visuele benadering van de wiskunde en zijn bijzondere interessegebieden zag hij weinig in de school van Bourbaki (een groep Franse wiskundigen) die de stijl van de wiskunde daar bepaalde op streng algebraïsch.

In 1958 vestigde hij zich voorgoed in de V.S. en begon zijn vruchtbare samenwerking met IBM als IBM-Fellow aan hun wereldwijd bekende laboratoria in Yorktown Heights in de staat New York. Daar kreeg Mandelbrot alle ruimte om zijn eigen ideeën verder te onderzoeken, veel meer ruimte dan alleen een leerstoel aan een universiteit hem kon bieden.
En daar begon hij omstreeks 1970 het werk van de Franse wiskundige Julia te herontdekken. Hij was er via zijn oom in 1945 al mee in aanraking gekomen, maar zag er toen weinig in. Bij IBM's Watson Research Center, waar Mandelbrot toen werkte, kon hij met behulp van de computer Julia's wiskunde in beeld omzetten. Daartoe moest hij niet alleen nieuwe wiskundige ideeën ontwikkelen, maar ook enkele van de eerste computerprogramma's ontwerpen waarmee grafieken konden worden afgebeeld. Mandelbrot liet daarmee de eerste fractalen zien.

De bekendste fractalen zijn naar hem genoemd: de Mandelbrot-verzameling. In zijn boek "Les objets fractals, forn, hasard et dimension" (uit 1975) en later in het beroemde "The fractal geometry of nature" (uit 1982) beschrijft hij zijn theorie.

Daarnaast was Mandelbrot hoogleraar toegepaste wiskunde aan Harvard University, aan Yale University, en aan de École Polytechnique in Parijs. Bovendien was hij hoogleraar economie in Harvard en hoogleraar fysiologie aan het Einstein College of Medicine. Mandelbrot koos bewust voor het werken in andere takken van de wetenschap, want ook in die gebieden kwamen fractalen om de hoek kijken.
In feite blijken de door hem (her)ontdekte fractalen op heel veel terreinen op te duiken. Mandelbrot heeft met zijn ontdekkingen dan ook diverse prijzen in de wacht gesleept. Op 23 juni 1999 wordt Mandelbrot door de universiteit van St.Andrews een eredoctoraat verleend.
Op 14 oktober 2010 is Mandelbrot overleden.

Fractalen

Mandelbrot had bij IBM's Watson Research Center de mogelijkheid om Julia-verzamelingen in beeld te brengen met de computer. Hij ontwikkelde daar de theorie der fractalen of fractals.
Bij fractalen gaat het figuren die ontstaan bij rijen van complexe getallen.
Een complex getal is een getal van de vorm $z = x + i y$ waarin $i$ de wortel uit $-1$ is. (Eigenlijk is `i` het getal waarvoor geldt `i^2=text(-)1`.)
Zo'n complex getal kun je je voorstellen door een vector $(x, y)$ in een $O x y$ -assenstelsel.
De Franse wiskundige Gaston Julia en Louis Fatou werkten o.a. met kwadraten van $z$ :
$z^{2} = {(x + i y)}^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 i x y$
Vervolgens gingen ze een iteratief (zichzelf herhalend) proces uitvoeren. Ze begonnen met een complex getal $z_{0}$ , berekenden het kwadraat ervan en telden er een vast complex getal $c = a + i b$ bij op. Zo kregen ze $z_{1}$ . Vervolgens deden ze met $z_{0}$ hetzelfde; ze kregen $z_{2}$ . En zo eindeloos door. Elke stap kun je beschrijven met de afbeelding:
$z_{n} = z_{n - 1}^{2} + c$
Met vectoren ziet die afbeelding er zo uit:

$x_{n} = x_{n - 1}^{2} - y_{n - 1}^{2} + a$ en $y_{n} = 2 i x_{n - 1}^{} y_{n - 1}^{} + b$

Als je zo'n proces gaat uitvoeren zijn er deze mogelijkheden:

$z_{n}$ komt steeds dichter bij een bepaald complex getal (de "aantrekker" of "attractor") uit, de rij convergeert;
de lengte van $z_{n}$ wordt steeds groter en gaat naar oneindig, de rij divergeert.

Wat er daadwerkelijk gebeurt, hangt af van de keuze van $z_{0}$ . Het gehele vlak wordt dus als het ware in drie delen verdeeld:

de verzameling punten $z_{0}$ waarvoor de rij een aantrekker heeft;
de verzameling punten $z_{0}$ waarvoor de rij divergeert;
de verzameling punten $z_{0}$ die de grens tussen beide voorgaande gevallen aangeeft.

Deze laatste verzameling punten is de Julia-verzameling $J (a, b)$ die afhangt van de keuze van $c = a + i b$ .

De Mandelbrot-verzameling is een bijzonder geval van de Julia-verzameling. Julia bewees al dat er voor Julia-verzamelingen twee mogelijkheden zijn: ze zijn volledig samenhangend of ze bestaat uit alleen maar losse punten (Fatou-stof). De punten $c = a + i b$ waarvoor $J (a, b)$ een samenhangende Julia-verzameling is vormen een Mandelbrot-verzameling. Hier zie je een plaatje van een Mandelbrot-verzameling.
Mandelbrot publiceerde zijn werk in "The fractal geometry of nature" in 1982. Meer over fractalen vind je via de sites die bovenin dit document staan genoemd.

Bekijk ook de videoclip Mandelbrot: Fractals en the art of roughness.

Math4all

Mandelbrot

De tijd van Mandelbrot

Over Mandelbrot

Fractalen

Aanmelden