Magische vierkanten zijn een bekend en toch een wat wonderlijk wiskundig fenomeen. Enerzijds is er geen enkele belangrijke toepassing van magische vierkanten, maar, anderzijds, - de naam zegt het al enigszins - geven ze aanleiding tot aardige beschouwingen over vermoedens, aannemelijk maken versus bewijzen, over het ontdekken van regelmaat. En over variabelen en letterrekenen en het gebruiken van plaatshouders.
Dit verhaal is geen lestekst maar een volgorde waarin het gesprek in een les of paar lessen zou kunnen plaatsvinden.
Neem een rooster van `3 xx 3` vakjes met daarin `9` gehele getallen. Als de sommen van de getallen in elk van de drie kolommen, elk van de drie rijen en beide diagonalen gelijk is, dan wordt het rooster een magisch vierkant genoemd.
Hier zie je vier voorbeelden. De getallen langs de rand van elk vierkant zijn de sommen van rij/kolom/diagonaal. Omdat ik de woorden “rij/kolom/diagonaal” vele malen ga gebruiken kort ik dat af met R/K/D.
Die laatste is wel een beetje flauw. Dus zou je nog als extra eis aan een magisch vierkant kunnen stellen dat een getal maar één keer in het vierkant mag voorkomen. Maar dan valt ook het derde vierkant af - en dat vierkant is toch zeker niet triviaal. Dus ik houd het op:
Als je van een magisch vierkant de getallen in elke rij, in elke kolom en in elke diagonaal bij elkaar optelt vind je steeds hetzelfde antwoord. Dat antwoord noem ik `S`, de R/K/D-som van dat magische vierkant.
Ik laat bewust weg dat een magisch vierkant `3` bij `3` moet zijn. Er bestaan ook magische vierkanten van andere afmetingen, maar daarover wil ik het nu nog niet hebben.
Maak deze magische vierkanten af:
De tactiek om het vierkant af te maken die je hebt gebruikt, is vermoedelijk:
Ik wil proberen magische vierkanten te construeren en liefst een manier vinden om ze allemaal te kunnen maken.
Twee beweringen:
Laten ik beginnen met de eerste bewering over de waarde in het centrale vakje. Dat is best wel een sterke uitspraak. Want als die waar is, dan kun je dus direct concluderen dat dit vierkant niet af te maken is, want de diagonaalsom `22` is ongelijk aan `3 xx 7`. Hoe kun je die bewering (I) aannemelijk maken, of liever nog: bewijzen?
Het middelste vakje van een magisch vierkant is het vakje dat het vaakst voorkomt in een R/K/D. Het is daarom misschien wel het meest gemiddelde vakje van allemaal. En de gemiddelde waarde van elke R/K/D- is natuurlijk `S//3`. Maar is dat een bewijs? Ik heb het volgende bewijs bedacht. Dat hoef je niet te onthouden of te leren, maar kijk of je dat kunt volgen en begrijpen. Misschien dat je later zo’n soort bewijs voor iets anders kunt bedenken.
Bewijs bewering 1: Stel je voor dat dit een kant en klaar magisch vierkant is waarvan je de getallen in de vakjes helaas niet kunt lezen. Ik noem `S` weer de som van elke rij, kolom en diagonaal. Als ik nu alle negen getallen van het hele vierkant bij elkaar optel, dan moet ik uitkomen op `3 S`, want ik tel drie rijen bij elkaar op, dus kom ik uit op `S+S+S=3 S` . Wat die `S` ook precies is. Nu tel ik de vakjes van beide diagonalen, de middelste rij en middelste kolom allemaal bij elkaar. Dat levert op `4 S`, dus `S` meer dan zonet. Als je goed kijkt, dan zie je dat ik bij de tweede keer tellen `4` keer het centrale vakje heb genomen en alle andere vakjes van het vierkant precies `1` keer. Anders gezegd: ik heb de tweede keer alle negen vakjes van het rooster opgeteld en daar nog `3` keer het centrale vakje extra. Die extra `3` keer het centrale vakje moet dus voor die extra bijdrage aan het totaal van `S` gezorgd hebben. En dat betekent dat in het centrale vakje `1/3 S` moet staan. Bewijs geleverd!
Bewijs bewering 2: Voor bewering 2 kun je een redenering maken die best wel lijkt op de redenering bij het bewijs van bewering 1. Vergelijk dit keer de rij, de kolom en de diagonaal waar vakje A in voorkomt met alle negen vakjes van het vierkant. Mogelijke verdere redenering
De eerste bewering kun je gebruiken om te proberen een magisch vierkant te construeren. Eerst eens met gewone getallen.
Ik kies voor, zeg, `10` in het centrale vakje. Dat betekent dat de som van alle rijen etc. `3` keer zo veel moet zijn, dus `S=30`. Als ik ergens nog een waarde in een vakje zet, dan kan ik gaan rekenen.
Ik kies voor `4` in het vakje linksboven. `4` is `6` minder dan `10` dus rechtsonder moet juist `6` meer staan dan `10`, dus `16`. Zo is de eerste diagonaal precies `30`.
Ik nu kan verder geen van de vakjes uitrekenen, dus ik kies nog een waarde, bijvoorbeeld `12`, voor het vakje rechtsboven. Linksonder moet dan `8` staan. Nu kan ik de overige vakjes uitrekenen: Midden boven: `14`. Midden onder: `6`. En links midden `18`. En tenslotte, het laatste vakje: daarin moet `2`. Zo klopt het vierkant van alle kanten. Een magisch vierkant gevonden!
Deze manier kan ik nog wat algemener uitvoeren: Ik gebruik een letter voor het centrale vakje: `a`. De R/K/D-som moet dus `S = 3a` zijn. Ik kies een getal `b` en maak het vakje linksboven `b` groter dan het centrale vakje. Dan moet het vakje rechtsonder juist `b` kleiner zijn zodat de diagonaal in totaal op `3a` uitkomt. Hier valt verder niets aan uit te rekenen, dus ik moet de waarde van een tweede vakje kiezen. Ik kies getal `c` en doe hetzelfde als hiervoor maar dan met de vakjes rechtsboven en linksonder. Nu kan ik de resterende (witte) vakjes uitrekenen. Dit levert een algemene vorm op voor magische `3` bij `3` vierkanten. Elke combinatie van `a`, `b` en `c` geeft een magisch vierkant.
Als hier niet `7`, `0`, `5`, `2`, … stond maar `700`, `0`, `500`, `200`, … dan zou dat duidelijk ook een magisch vierkant zijn. Alleen is `S` dan `100 xx` zo groot. Blijkbaar is het zo dat als je alle getallen uit een magisch vierkant met `100` vermenigvuldigt, of met een ander willekeurig getal, je dan je weer een magisch vierkant krijgt. Of deelt...
Vergelijk de twee magische vierkanten hierboven. Alle getallen in het rechter magische vierkant zijn gehalveerd.
Dat levert trouwens een bijzonder magisch vierkant op: in dat vierkant komen precies de getallen van `1` t/m `9` allemaal, één keer voor.
Nog een observatie: je kunt magische vierkanten optellen tot een nieuw magisch vierkant. Je kunt magische vierkanten bij elkaar optellen door ze “positioneel” op te tellen. Daarmee bedoel ik: de vakjes linksboven van beide vierkanten bij elkaar optellen, de vakjes midden boven bij elkaar, enz.
Het zal je niet verbazen dat het resultaat weer een magisch vierkant is. En dat dat altijd zo is, welke magische vierkanten je ook bij elkaar optelt.
In het algemeen: Als `V` en `W` beide een magisch vierkant zijn, dan is `a*V + b*W` ook een magisch vierkant voor elke `a` en `b`. (Magische vierkanten vormen zo, zoals dat in de wiskunde heet, een lineaire ruimte of vectorruimte.) Het lijkt erop dat er oneindig veel magische vierkanten zijn. Wel kun je je afvragen of sommige magische vierkanten niet eigenlijk hetzelfde zijn omdat je de een kunt verkrijgen door bijvoorbeeld een ander magisch vierkant te draaien of te spiegelen. In de volgende figuur zie je dat de eerste twee magische vierkanten eigenlijk hetzelfde zijn. De tweede kun je immers maken door de eerste een kwart slag te draaien.
Als je deze vierkanten hetzelfde noemt, wat ze in een zekere zin ook zijn, dan valt het nog niet mee om te tellen hoeveel magische vierkanten er zijn, omdat je dan al die dubbeltellingen er uit moet halen.
Magische vierkanten ontbinden in factoren Je kunt het algemene vierkant “ontbinden” in een `a`, een `b` en een `c` component:
Merk op dat de vierkanten in die ontbinding elk ook magische vierkanten zijn. Dat is, als je er goed over nadenkt, ook logisch. Kijk maar:
Dit is een magisch vierkant, welke waarden voor `a`, `b` en `c` je ook kiest. Kies je `a = 1`, `b = 0` en `c = 0`, dan krijg je het tweede vierkant hierboven. Kies je `a = 0`, `b = 1` en `c = 0`, dan krijg je het derde vierkant hierboven. Kies je `a = 0`, `b = 0` en `c = 1`, dan krijg je het vierde vierkant hierboven.
`2A = B + C` In het begin van dit verhaal beweerde ik dat `B+C` altijd hetzelfde is als `2A`. Misschien had je al een bewijs gevonden voor die bewering, maar nu kun je ook een bewijs maken op basis van de algemene vorm. Als je kijkt naar de algemene oplossing, dan is blijkbaar `A=a+b` , `B=a+b-c` en `C=a+b+c`. En dus `B+C = a+b-c + a+b+c = 2a +2b = 2 (a+b)`. Dat is inderdaad precies het dubbele van `A`, wat `a`, `b` en `c` ook zijn.
Sommigen zullen zeggen: alleen het eerste vierkant uit de voorbeelden waarmee ik dit verhaal begon is écht magisch omdat daar precies alle getallen van `1` t/m `9` in voorkomen. Maar, er is veel voor te zeggen dat alle voorbeelden magische vierkanten zijn en dat het eerste voorbeeld een magisch vierkant is met een speciale extra magische eigenschap.
Magische vierkanten van `2` bij `2` Maak dit vierkant af tot een magisch vierkant. Dat kan maar op één manier. Wel kun je de getallen in een magisch vierkant van `2` bij `2` alle met hetzelfde getal vermenigvuldigen en dan krijg je weer een magisch vierkant van `2` bij `2`.
Alle `2` bij `2` magische vierkanten zien er dus uit zoals hieronder.
Magische vierkanten van `4` bij `4` Zijn er magische `4` bij `4` vierkanten? Ja. Die bestaan zoals je hiernaast ziet. Dit is nog een bijzondere ook: alleen de getallen van `1` t/m `16` komen voor. In een `4` bij `4` magisch vierkant is er geen centraal vierkant, dus om een `4` bij `4` vierkant te construeren moeten we iets nieuws verzinnen. Wel geldt voor `4` bij `4` magische vierkanten, net als bij `3` bij `3` magische vierkanten, dat als `V` en `W` allebei een magische `4` bij `4` vierkanten zijn, dan `aV+bW` ook een magisch vierkant is, voor elke `a` en `b`.
Vijf bij vijf magisch vierkant en groter Kun je voorspellen wat is bij een magisch vierkant van `5` bij `5`, met de getallen `1` t/m `25`, de R/K/D-som is? En hoe is dat bij een `6` bij `6` magisch vierkant met de getallen `1` t/m `36`?
Math4all Auteur: Jan Speelpenning
Links naar andere sites over dit onderwerp:
» Wikipedia: magisch vierkant » website magische vierkanten » Mathologer: magic squares (engelstalig)
Ik wil mij aanmelden voor:
