Voor lineaire verbanden in schoolboeken zijn veel contexten verzonnen (cq. gevonden) zoals: “Voor een schoolfeest betaal je voor de toegangskaart €5,= en kost een drankmuntje €2,=” Hoe moet je en hoe wil dat je leerlingen met zo’n context omgaan?
De meeste leerlingen berekenen de kosten (`y`) voor toegang plus 4 (`x`) muntjes zo: `4 * 2=8` en dat `+ 5=13` euro. De feitelijke formule die zij gebruiken is dus `x*2 + 5=y`.
Om die rekenwijze te herkennen in de formule `y=2x+5` vergt een mentale sprong die niet iedereen direct maakt. Het verdient dus wat aandacht om alle leerlingen te laten inzien dat die beide rekenwijzen altijd hetzelfde resultaat opleveren. Anders gezegd, dat `x*2 + 5=y` en `y=2x+5` beide goed zijn.
De keuze voor de tweede notatievorm is vrij arbitrair en is niet meer dan een gewoonte (beginnen met de hoogste macht van `x` en dan in aflopende volgorde). De gangbare wiskundige manier van noteren volgt dus zeker niet algemene intuïtie. Bovendien: zodra wiskundigen met machtreeksen gaan werken gaat de notatie in oplopende volgorde van de machten. Hoezo zijn wiskundigen consequent in hun notaties?
Het maken van een bijpassende grafiek veronderstelt dat leerlingen berekende toegangskosten voor verschillende aantallen drankmuntjes noteren in een tabel:
en van die tabelwaarden moet vervolgens in een assenstelsel een grafiek worden getekend.
Dit betekent dat als getallenpaar `(4 , 13)` gelezen moet worden.
Dat zou een kleinere stap zijn geweest als de tabel verticaal was getekend, want daarin herken je getallenparen veel gemakkelijker.
Tenslotte teken je de punten in het rooster en wordt meestal een rechte of “vloeiende” lijn door die punten getrokken. Je hebt dan de grafiek van `y=2x+5` getekend. Hier valt wel het een en ander over te zeggen. De rechte lijn is namelijk niet de grafiek van het verband. Wel liggen de punten van de grafiek alle op één rechte lijn. De grafiek van het verband bestaat nu eenmaal uit een serie losse punten. Het domein (de mogelijke waarden die je voor `x` kunt invullen) bestaat immers uit gehele, niet negatieve getallen. Je kunt nu eenmaal geen halve muntjes kopen, laat staan, zeg, `4,271` muntjes. Dat wordt gedicteerd door de context van de opgave.
Het zou anders zijn als de context het zou toestaan om elke reële waarde voor `x` in te vullen. Denk bijvoorbeeld aan de kosten van een taxirit waarbij er sprake is van vaste kosten plus een prijs per kilometer (overigens: Hoe nauwkeurig worden gereden kilometers gemeten? In decimalen? Of wordt er afgerond?) of de prijs van pruimen (€ 4,50 per kilogram) bij de groenteboer. In het laatste voorbeeld wordt het gewicht in grammen gemeten en zou de grafiek dus feitelijk bestaan uit `1000` puntjes als `x` tussen `0` en `1` kilogram ligt. Continue grafieken in context zijn vrijwel altijd idealiseringen van de werkelijkheid.
In de wiskunde worden veel, vaak alle, praktische overwegingen weggelaten en krijg je een feitelijk heel abstracte, contextvrije, wetenschap – maar wel voortgekomen uit een praktische vraag.
Als je met contexten werkt, bedenk dan de opbouw die van modelleren is: probleem in context → vertaling naar wiskundig model → oplossing binnen wiskundig model → terugvertalen van oplossing naar context. Die laatste stap betekent vaak: afronden, eenheden toevoegen, interpreteren.
In een ver verleden was het oplossen van kwadratische vergelijkingen een bekende techniek (heel verwant aan de manier waarop we dat nu nog steeds doen, maar negatieve oplossingen werden direct verworpen als onmogelijk of niet ter zake. Die pasten toen niet in de vertaling van de oplossing naar de context. Cruciaal in bij contexten is (dus) het concept van domein, de verzameling van de betekenisvolle waarden voor `x` bij een gegeven functie.
Vaak wordt gesproken over een lineaire functie. Dat is wat informeel taalgebruik voor een functie met een lineaire grafiek – het woord lineair verwijst immers naar vorm. Je kunt erover twisten of een ‘losse’ puntengrafiek lineair kan zijn.
De naam eerstegraads functie is vermoedelijk beter, maar wordt pas relevant als je ook met kwadratische ofwel tweedegraads verbanden hebt gewerkt. Tot die tijd komt de naam eerstegraads totaal uit de lucht vallen.
Je kunt een functie nog wel eerstegraads noemen als het domein uit één enkel punt bestaat, maar het woord lineaire grafiek is dan niet meer aan de orde. Want over welke lijn hebben we het dan?
Math4all Auteur: Jan Speelpenning
Links naar andere sites over dit onderwerp:
Ik wil mij aanmelden voor:
