Je hebt vast wel eens gehoord van de limiet van een functie of van een rij getallen. Het woord betekent "grenswaarde" en er wordt een waarde mee bedoeld die door de functiewaarden (of de getallen in de rij) steeds dichter wordt benaderd. Dat klinkt lekker gemakkelijk en het zal de meeste mensen intuïtief ook wel duidelijk zijn. Maar wat wordt er bedoeld met "steeds dichter naderen", hoe dicht dan wel? En wordt die grenswaarde alleen benaderd, of ook echt aangenomen?
Het lijkt nuttig om het begrip limiet wat beter te beschrijven. Je moet dan wel eerder intuïtief met limieten van functies hebben gewerkt en iets weten over asymptoten van een grafiek, bekijk de eerste links hiernaast waarmee je de nodige voorkennis kunt ophalen..
Een rij getallen is eigenlijk een functie met als domein de natuurlijke getallen `{(0,) 1, 2, 3, ...}`. Bij elk van die getallen hoort een waarde `u(n)` van de rij. Neem bijvoorbeeld de rij `u(n) = 1/n` voor `n != 0`. Daarbij krijg je dan `1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...` als waarden. Wanneer `n` steeds groter wordt, worden de waarden van `1/n` steeds kleiner, d.w.z. ze komen steeds dichter bij `0` te liggen, maar worden nooit gelijk aan `0`. Intuïtief zeg je dan dat de limiet van `u(n)` voor `n` naar "oneindig" `0` is.Notatie: `lim_(n rarr oo) 1/n = 0`
Rijen die een limiet, zo'n grenswaarde hebben, heten convergent. Rijen die geen limiet hebben noem je divergent. Je kunt vast wel gemakkelijk benoemen of een rij een limiet heeft, of niet. Dus of hij convergeert of divergeert. Probeer deze rijen maar eens:
Dat lijkt zo vast wel eenvoudig, waarom moeilijk doen over limieten?
Nou, dat komt omdat het wel wat "nattevingerwerk" is. Vergelijk de rijen `u(n) = n/(n+1)` en `u(n) = (n+1)/n` maar eens. Beide hebben ze dezelfde limiet, maar toch zijn de waarden van de eerste rij steeds kleiner dan die van de tweede. En verder: hoe weet je zeker dat ze steeds dichter bij `1` gaan komen?
De wiskundige Weierstrass heeft daar aan het eind van de negentiende eeuw een methode voor bedacht. Hij bedacht de `epsilon`-omgeving van de limiet: als `L` de waarde van de limiet is, dan is `(:L - epsilon, L + epsilon:)` de `epsilon`-omgeving van `L`. Zo werd de definitie van de limiet van een rij:
In het algemeen is `N` afhankelijk van `epsilon`.
Bekijk het volgende bewijs.
Stelling:De limiet van de rij `u(n) = 1/n` is `0`.
Bewijs: Een `epsilon`-omgeving van `0` is `(:text(-)epsilon, epsilon:)`. Nu moet je aantonen dat er bij elke keuze van `epsilon` een `N in NN` bestaat zo, dat `|1/n - 0| lt epsilon` als `n gt N`.Nu is `|1/n| lt epsilon iff 1/n lt epsilon` want `n gt 0`. Kies je `N` zo, dat `1/N lt epsilon` ofwel `N gt 1/epsilon` dan is voor elke `n gt N` voldaan aan `1/n lt 1/N lt epsilon`. Neem je bijvoorbeeld `epsilon = 0,001`, dan moet `N gt 1/(0,001) = 1000` en zit je al voorbij het `1000`ste getal van de rij. Maar je kunt `epsilon` gerust nog kleiner kiezen. En daarmee is aangetoond dat bij elke gekozen waarde van `epsilon gt 0` (hoe klein ook) een getal `N gt 1/epsilon` bestaat waarvoor `|1/n - 0| lt epsilon` als `n gt N`. En dus is inderdaad `0` de limiet van deze rij. QED
Het bewijzen dat een getal `L` de limiet van een rij is, komt dus neer op het uitdrukken van `N` in `epsilon` zo, dat voldaan is aan `|u(n) - L| lt epsilon` als `n gt N`. Probeer dat zelf.
Het verschil tussen functies en rijen is eigenlijk alleen gelegen in de waarden waaruit we de invoervariabele kiezen. Bij functies kun je uit alle (of een groot deel van de) reële getallen kiezen. Dus als `x` als invoervariabele wordt gekozen is `x in RR`. Vandaar dat je limieten van functies voor `x rarr oo` net zo kunt definiëren als bij rijen:
Voor `x rarr text(-)oo` bestaat een vergelijkbare definitie.
Grafisch ziet het er voor een bepaalde functie `f` met limiet `L=3` zo uit.
Als je `epsilon` varieert, zie je dat `R` afhangt van `epsilon`. Als je dan met de schuifknop "verplaatsen" de `x`-waarde (die groter is dan `R`) verplaatst, zie je dat `f(x)` (functiewaarde) in blijft zitten tussen `3 - epsilon` en `3 + epsilon`. Alleen de situatie voor `x rarr oo` is in beeld gebracht.
Op dezelfde wijze als bij rijen kun je bewijzen dat voor de functie `f(x) = 1/x` geldt: `lim_(x rarr oo) 1/x = 0`. En sterker nog: je kunt bewijzen dat `lim_(x rarr oo) 1/(x^n) = 0` voor alle gehele `n ge 1`.
Hier volgt het bewijs voor `n=3`:
Stelling: De functie `f(x) = 1/(x^3)` heeft voor `x rarr oo` de limiet `0`: `lim_(x rarr oo) 1/(x^3) = 0`.
Bewijs: Een `epsilon`-omgeving van `0` is `(:text(-)epsilon, epsilon:)`. Nu moet je aantonen dat er bij elke keuze van `epsilon` een `R in RR` bestaat zo, dat `|1/(x^3) - 0| lt epsilon` als `x gt R`.Nu is `|1/(x^3)| lt epsilon iff 1/(x^3) lt epsilon` want `x gt 0`. Kies je `R` zo, dat `1/(R^3) lt epsilon` ofwel `R gt 1/(root[3](epsilon))` dan is voor elke `x gt R` voldaan aan `1/(x^3) lt 1/(R^3) lt epsilon`. En daarmee is aangetoond dat bij elke gekozen waarde van `epsilon gt 0` (hoe klein ook) een getal `R gt 1/(root[3](epsilon))` bestaat waarvoor `|1/(x^3) - 0| lt epsilon` als `x gt R`. QED
Je ziet vast wel dat op deze manier `lim_(x rarr oo) 1/(x^n) = 0` kan worden bewezen voor `n = 1, 2, 3, 4, ...` Maar hoe zit het met `lim_(x rarr oo) 1/(x^(1,5)) = 0` bijvoorbeeld. En waarom geldt dit niet als `n = 0, text(-)1, text(-)2, ...`? En is `lim_(x rarr oo) 1/(x^r) = 0` als `r gt 0` een reëel getal is?
Bij het bepalen van limieten van gebroken functies maak je vaak gebruik van de standaardlimiet `lim_(x rarr oo) 1/(x^r) = 0` met `r gt 0`. Je deelt dan teller en noemer door de hoogste macht van `x` en past de standaardlimiet toe. Eigenlijk betekent dit dat je in de praktijk een aantal standaardlimieten gaat bewijzen en die dan gebruikt bij samengestelde functies. Maar daarmee heb je vast al eerder gewerkt.
Bij functies spelen behalve limieten van functiewaarden voor `x rarr +-oo` ook andere soorten limieten een grote rol. Die hebben te maken met het continu zijn van een functie. Dat betekent dat de grafiek ononderbroken is. En dat ligt lang niet altijd voor de hand, zeker niet bij gebroken functies. Bekijk de volgende grafieken maar eens.
Grafiek 1, grafiek 5 en grafiek 6 zijn op hun domein continu. Van de grafieken 1 en 6 is het domein `RR`, dus alle reële getallen, van grafiek 5 is het domein `[0, rarr:)`.
De grafieken 2, 3 en 4 zijn niet continu. De grafieken 3 en 4 maken een sprong bij `x=0`, grafiek 2 heeft een perforatie (een gaatje) bij `x=0`. Bij geen van de bijbehorende functies mag je `x=0` invullen. Bekijk ze nog eens goed:
Maar hoe weet je dat zeker, hoe kun je nauwkeurig formuleren wat er precies aan de hand is bij deze functies en dit ook echt aantonen?
Als je wilt aantonen dat een functie `f` een bepaalde limiet `L` benadert voor `x uarr 0` (`x` van onder naar `0`) of `x darr 0` (`x` van boven naar `0`) moet je formuleren dat als `x` dicht bij `0` zit, dat dan daaruit volgt dat `f(x)` dichtbij `L` komt.
En meer algemeen benadert een functie `f` een bepaalde limiet `L` voor `x uarr a` of `x darr a` wanneer als `x` dicht bij `a` zit, daaruit volgt dat `f(x)` dichtbij `L` komt.
Met behulp van een `epsilon`-omgeving en een bijbehorende `delta`-omgeving voor `x`, kun je nu definities opstellen voor de limiet voor `x darr a` en/of `x uarr a`.
Met behulp van deze definities kun je de limieten voor `x darr 0` en `x uarr 0` die horen bij de voorgaande zes functies bewijzen.
Neem bijvoorbeeld de eerste functie `f(x) = x^2`. Volgens de grafiek lijken `lim_(x darr 0) x^2 = 0` en `lim_(x uarr 0) x^2 = 0`, zodat de functie voor `x = 0` continu is. Het bewijs dat dit inderdaad zo is, verloopt zo: `|x^2 - 0| lt epsilon` geeft `|x^2| lt epsilon` en `|x| lt sqrt(epsilon) = delta`. Dus bij elke `epsilon` hoe klein ook gekozen bestaat een `delta = sqrt(epsilon)` zo, dat `|f(x) - 0| lt epsilon` als `0 lt x lt 0 + delta`. En bij elke `epsilon` hoe klein ook gekozen bestaat een `delta = sqrt(epsilon)` zo, dat `|f(x) - 0| lt epsilon` als `0 - delta lt x lt 0`. Hiermee heb je beide limieten in één keer bewezen. Q.e.d.
Maar neem bijvoorbeeld de derde functie `f(x) = (|x|)/(x)`. Als `x gt 0` is `f(x) = 1` en lijkt `lim_(x darr 0) f(x) = 1`. Neem `|f(x) - 1| lt epsilon` en `delta = epsilon`. Dan geldt `|1 - 1| lt epsilon` als `0 lt x lt 0 + delta`. Dus bij elke `epsilon` hoe klein ook gekozen bestaat een `delta = epsilon` zo, dat `|f(x) - 1| lt epsilon` als `0 lt x lt 0 + delta`. Q.e.d. Zo kun je ook aantonen dat `lim_(x uarr 0) f(x) = text(-)1`.
Je hebt nu gezien hoe je bij eenvoudige functies limieten kunt bewijzen met behulp van `epsilon, delta`-redeneringen. In de praktijk is het werken met dergelijke definities niet zo handig. Vooral bij ingewikkelde functies is het lastig om `delta` als functie van `epsilon` te vinden. En verder leveren die definities geen manier om de waarde van de limiet te vinden. Daarom gebruik je in de praktijk enkele standaardlimieten die met behulp van het voorgaande zijn bewezen en daarnaast enkele rekenregels. Die rekenregels moeten dan wel netjes zijn bewezen met `epsilon, delta`-redeneringen. Het gaat dan om deze rekenregels (`x rarr a` kan ook `x darr a` of `x uarr a` of `x rarr +-oo` zijn):
Daarnaast worden er dan enkele standaardlimieten bewezen, zoals:
Hiermee kun je dan limieten berekenen van functies die bestaan uit optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen van de functies in de standaardlimieten.
Deze wat exactere benadering van het limietbegrip is slechts een eerste begin van de nauwgezette opbouw van de analyse, de studie van functies. Er is nog lang niet alles gezegd, bijvoorbeeld:
Kortom: wie echt meer wil weten moet wiskunde gaan studeren...
Math4all
Links naar noodzakelijke voorkennis:
» Karakteristieken van een functie » Asymptoten » Limieten » Continuïteit
Links naar andere sites over dit onderwerp:
» Over limieten in 3Blue1Brown (Engelstalig)
Ik wil mij aanmelden voor:
