Kwadratische verbanden leerlijn

Wat is de huidige praktijk?

In de meeste havo/vwo schoolboeken wordt in de eerste twee leerjaren grofweg deze volgorde gehanteerd:

• Er wordt allereerst kennis gemaakt met kwadraten en wortels van getallen.
• Vervolgens worden er letters als variabelen ingevoerd en wordt er algebra mee bedreven. Daarbij komen ook kwadraten voor en worden haakjes weggewerkt om termen samen te kunnen nemen.
• In het kader van het voorgaande wordt ook nogal tijd gestopt in het ontbinden in factoren.
• Bij formules van de vorm `y = ax^2 + b` worden dan grafieken gemaakt, die parabolen worden genoemd.
• Bij het werken met vergelijkingen komen ook vergelijkingen met kwadraten voor en die van de vorm `ax^2 + b = 0` worden opgelost door terugrekenen/balansmethode met wortels.
• Vervolgens komen vergelijkingen van de vorm `ax^2 + bx + c = 0` voorbij die kunnen worden opgelost door ontbinden in factoren en wordt dit veel geoefend.

In de derde klas wordt hierop voortgeborduurd. Dat betekent meestal dat kwadratische functies meteen de vorm `y = ax^2 + bx + c` hebben en dat eerst het ontbinden in factoren om nulpunten te vinden weer wordt herhaald en geoefend en vrij snel wordt toegewerkt naar de `abc`-formule.
Er kan zo vrijwel niet anders dan een rommelig beeld ontstaan van wat een kwadratische functie nou eigenlijk is en welke technieken eromheen nu echt belangrijk zijn. Het ontbinden krijgt als techniek een overmatig grote nadruk en veel context opgaven worden gekunsteld aangepast om deze techniek te kunnen uitvoeren.
Leerlingen krijgen het beeld dat wiskunde uit “handigheidjes” bestaat en dat de voorgeschotelde “realistische contexten” helemaal niet echt zijn (wat ook zo is).

 

 

 

Waarom liever anders?

Een kwadratische functie heeft in principe de vorm `y = a(x – p)^2 + q`.
Want de grafiek heeft de vorm van een verschoven en opgerekte parabool die ontstaat als grafiek van `y = x^2`. Dat de functie `y = ax^2 + bx + c` een kwadratische functie is, ligt eigenlijk niet meteen voor de hand. Het is namelijk de som van een kwadratische functie `y = ax^2` en een lineaire functie `y = bx + c`. Dat deze optelling een zuivere parabool oplevert, mag best als verrassend worden gezien, niet als voor de hand liggend. Als je namelijk `y = ax^3` en `y = bx + c` optelt, krijg je niet automatisch een functie die net als `y = ax^3` alleen maar een buigpunt met een horizontale raaklijn heeft en verder geen extremen.

De functie `y = ax^3 + bx + c` is niet altijd een zuiver "kubische functie", ontstaat niet altijd door transformatie van `y = ax^3`. Bekijk de grafiek van `y = x^3 – 4x` maar eens. Die is echt niet door transformatie uit die van `y=x^3` te krijgen.

 

 

Natuurlijk kun je `y = ax^2 + bx + c` definiëren als een tweedegraads functie, maar dan moet je nog wel aantonen dat de grafiek een parabool is, dus ook dat dit een zuiver kwadratische functie is.

Voor de hand ligt dat niet, bijvoorbeeld bij derdegraads functies lukt dit niet:
`(x + p)^3 – p^3 + c = x^3 + 3px^2 + 3p^2 x + c` en dit kan alleen gelijk zijn aan `x^3 + ax^2 + bx + c` als `3p = a` en tegelijk `3p^2 = b`, dus als `1/3 a^2 = b`. In het algemeen zijn beide vormen dus niet gelijk aan elkaar.
Om een vergelijking van de vorm `x^3 + ax^2 + bx + c = 0` algebraïsch op te lossen is dan ook een substitutie nodig waardoor je op een andere variabele overgaat, plus de formule van Cardano.

Het is dus voor het goede begrip belangrijk om al vroeg te laten zien dat `y = ax^2 + bx + c` inderdaad een kwadratische functie is. Dat wordt nu meestal totaal overgeslagen.

Verder is een oplossen door ontbinden in factoren op zich best een aardige algebraïsche activiteit, maar in de praktijk nauwelijks nuttig. Wanneer komt een vergelijking nu echt zo uit? Alleen in “middelbare school opgaafjes”. Leerlingen krijgen zo een vals beeld van de wiskunde en prikken door de gebrekkige koppeling met de werkelijkheid heen. Het worden “onechte sommetjes”.

 

 

 

Een andere opzet voor een leerlijn kwadratische functies

Ik stel daarom voor om kwadratische functies van de vorm `y = a(x – p)^2 + q` al vanaf het begin (in klas 2?) in te voeren. Dat kan bijvoorbeeld door te beginnen met de oppervlakte van vierkanten te bekijken en daar vanuit door te schakelen naar de grafiek van `y = x^2`. Vervolgens kun je via tabellen bekijken wat er met de grafiek gebeurt als je bij `x` eerst een getal optelt/aftrekt en dan bij het kwadraat een getal optelt/aftrekt. Je kunt zo meteen het verschuiven van grafieken inzichtelijk maken. Met name door GeoGebra in te zetten, kun je heel goed naar de vorm `y = a(x – p)^2 + q` toewerken en praten over “parabool(vorm)” met een “top” `(p, q)`, over “dalparabool” en “bergparabool”. De verschuivingen en de vermenigvuldiging kun je goed visualiseren.

Bijbehorende vergelijkingen hebben de vorm `a(x – p)^2 + q = c` en kun je uitstekend oplossen met terugrekenen of de balansmethode.
Pas in een later stadium moet duidelijk worden dat ook functies van de vorm `y = ax^2 + bx + c` echte kwadratische functies zijn. Dat kan alleen door het kwadraat afsplitsen in te voeren.

Maar is dat niet veel te moeilijk voor leerlingen in klas 2?

Het is eigenlijk alleen het verschil tussen deze plaatjes:

 

 

Veel begripsmatig verschil is er niet, lijkt me. En eigenlijk is het linkerplaatje “moeilijker”: je moet maar net zien dat `6 = 2+4` en `8 = 2*4`. Terwijl je bij het rechterplaatje altijd gewoon de helft van `6` kunt nemen, onafhankelijk van die `8`.

Misschien is voor sommige leerlingen kwadraat afsplitsen nogal abstract. Maar is ontbinden in factoren dat niet net zo? En bovendien moet je dan steeds met som en product werken. En het lukt maar af en toe.
En het kwadraat afsplitsen leidt tot een veel logischer/betere begripsvorming, die ook onder echte praktijkomstandigheden bruikbaar is en waar geen andere technieken dan terugrekenen/balansmethode en worteltrekken voor nodig zijn. Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met behulp van kwadraat afsplitsen zou daarom veel meer aandacht en tijd moeten krijgen.

 

 

 

Conclusie

Kwadratische functies moeten we eerst de vorm `y = a(x – p)^2 + q` geven en daar voorbeelden van laten zien, kogelbaanachtig, draagkabelachtig, bijzondere bogen in de bouw. (Wel opmerken dat het benaderingen zijn van de werkelijkheid, waarin ook wind, effect, e.d., een rol spelen.)
De verschuivingen, vermenigvuldiging van grafieken kunnen helpen bij het visualiseren ervan. Het is derhalve ook nuttig om dat vroegtijdig (en nog weinig abstract geformuleerd) in te voeren.

Vervolgens laten zien hoe je vergelijkingen van de vorm `a(x – p)^2 + q = c` oplost door eenvoudig terugrekenen (de balansmethode weer toepassen) en daar de nodige tijd in stoppen.

Dan voor leerlingen die dat al aankunnen (alleen vwo of ook havo?) laten zien dat je door kwadraat afsplitsen van formules van de vorm `y = ax^2 + bx + c` ook echt een kwadratisch verband krijgt, met als grafiek een (verschoven, vermenigvuldigde) parabool.

In leerjaar 3 dit opnieuw opzetten en via kwadraat afsplitsen toewerken naar de `pq`-formule en van daaruit naar de `abc`-formule als algemene oplossing.
Het oplossen door ontbinden in factoren is alleen snelle, handige manier die echter in maar weinig echte situaties bruikbaar is.

 

 

 

---

Math4all