Krommen op de kermis

Een praktische opdracht voor de tweede fase vwo N-profielen

Bronnen:	www.math4all.nl > Wiskunde HV > 4/5/6 VWO wi-b > Meetkunde met coördinaten > Parameterkrommen Bekijk met name het eerste onderdeel Periodieke beweging en het onderdeel Lissajousfiguren.
Theorie:	Analyse: Periodieke bewegingen in het vlak
Resultaat:	Werkstuk gemaakt in een tekstverwerker en een paar animaties in GeoGebra en/of Cabri3D.   titelblad downloaden
Studielast:	10 - 12 uur

De "Polyp" is een echte kermisattractie.
Je zit dan in een bakje dat om een bepaald punt draait. Dat punt draait op zijn beurt ook weer om het centrum van de machine. De beweging die je dan maakt herhaalt zich steeds, maar is toch niet gewoon een saai rondje...
Je doorloopt een kromme waarbij je soms heel snel gaat en dan weer heel langzaam. Dat veroorzaakt de sensatie en het gegil...

De baan die iemand beschrijft die in het bakje aan de tweede arm zit, kun je met de grafische rekenmachine in beeld brengen als je een passende formule verzint. Ga uit van armen met een lengte van 4 m. Neem je het draaipunt van de eerste arm als oorsprong van het assenstelsel, laat je beide armen linksom draaien en ga je er van uit dat op `t=0` het bakje begint te draaien op de positieve `x`-as, dan vind je

`x(t) = 4 cos(t) + 3 cos(2t)` en `y(t) = 4 sin(t) + 3 sin(2t)`

met `x` en `y` in m en `t` in seconden.

Bekijk deze animatie op de math4all-site. Stel `a = 2` en `r = 3` in. De lengte van de tweede arm wordt dan `3` m.

• Laat zien hoe je de parametervoorstelling kunt afleiden uit de beschreven bewegingen van het bakje.
• Teken of construeer in GeoGebra de baan die een bakje uit de "Polyp" beschrijft.
• Bereken het punt van de baan waarop je met de grootste snelheid beweegt. Hoe groot is de maximale snelheid volgens deze parametervoorstelling?
• Kun je die maximale snelheid opvoeren zonder de baan te veranderen? Licht het antwoord toe.
• Neem vervolgens in de animatie `a = 3` en `r = 3`. Wat verandert er in de baan van het bakjes? En in de baanvergelijkingen?
• Toon aan dat je alleen langs een rechte lijn heen en weer gaat als de omlooptijd van de eerste arm twee keer zo groot is als die waarmee de tweede arm om de eerste draait en beide armen even lang zijn. (Waarom kan dit in werkelijkheid niet in het platte vlak? Hoe zou je dat kunnen oplossen?)
• Hoe ziet de beweging er uit als de omlooptijd van de tweede arm vier keer zo groot is als die van de eerste arm?

De beschrijving van bewegingen in het platte vlak met behulp van een parameter `t` is eenvoudig uit te breiden naar bewegingen in de ruimte. In feite is het toevoegen van een derde functie `z(t)` voldoende. Zo stelt de parametervoorstelling

`x(t) = 8t` en `y(t) = 8 sin(2t)` en `z(t) = 10 + 8 sin(3t)`

een ruimtelijke kromme voor die de vorm van een achtbaan heeft. Ga er van uit dat `x`, `y` en `z` in meter zijn en `t` in seconden is.
Je kunt dit bijvoorbeeld zien als je de projecties van deze kromme op het `xy`-vlak, het `xz`-vlak en het `yz`-vlak bekijkt.
Maar je kunt ook proberen om er een ruimtelijke tekening van te maken. Dan moet je eerst even bekijken hoe ruimtekrommen er uit zien.

• Teken de drie genoemde projecties (aanzichten) van deze ruimtekromme.
• Maak er een zo goed mogelijke ruimtelijke tekening van. Een constructie met behulp van een 3D-tekenprogramma op de computer is ook prima.
• Bereken de grootste snelheid die je volgens deze parametervoorstelling kunt halen.

Opdracht:

• Beschrijf hoe je krommen door een parametervoorstelling kunt weergeven.
• Verwerk de antwoorden op de opdrachten over vlakke krommen in een leesbaar verhaal. Bekijk ook andere kermisattracties (zoals het reuzenrad, de draaimolen, en andere in één vlak draaiende gevallen) en probeer de bewegingen die een bezoeker aan zo'n attractie ondergaat te beschrijven met een parametervoorstelling en met behulp daarvan te analyseren.
• Verwerk de antwoorden op de opdrachten over ruimtekrommen in een leesbaar verhaal. Bekijk ook andere attracties en probeer de ruimtelijke bewegingen die een bezoeker aan zo'n attractie ondergaat te beschrijven met een parametervoorstelling en met behulp daarvan te analyseren.
• Maak tekeningen en/of animaties in GeoGebra of Cabri3D met toelichting.

Alles wordt uitgewerkt tot een volledig werkstuk.

Math4all