Elke driehoek heeft een omgeschreven cirkel. Een vierhoek heeft lang niet altijd een omgeschreven cirkel: het is best toevallig als het vierde hoekpunt precies op de omgeschreven cirkel van de drie andere hoekpunten ligt. Dergelijke vierhoeken heten KOORDENVIERHOEKEN: een koordenvierhoek is dus een vierhoek die een omgeschreven cirkel heeft.
Veel meetkundige puzzels zijn op te lossen door gebruik te maken van koordenvierhoeken.
Bekijk de cirkel met middelpunt `M` en twee punten `A` en `B` die op de cirkel liggen. De hoek `/_AMB` heet dan een middelpuntshoek van de cirkel. De grootte van deze hoek wordt bepaald door de lengte van de boog `AB`. Dit heet: de middelpuntshoek staat op boog `AB`. Punt `P` ligt op de cirkel. De hoek `/_APB` heet dan een omtrekshoek van de cirkel. Ook hier heet het: de omtrekshoek staat op boog `AB`.
Gebruik de APPLET hierboven: Verschuif punt `P` langs de cirkel en kijk wat er met de grootte van de hoek gebeurt. Verschuif ook de punten `A` en `B` en kijk wat er met de hoeken gebeurt.
Stelling: De omtrekshoek die op boog `AB` staat is gelijk aan de helft van de middelpuntshoek die op boog `AB` staat
Teken `PM`. Je kunt drie gevallen onderscheiden: 1) Punt `M` ligt binnen `/_APB` 2) Punt `M` ligt op `PA` of `PB` 3) Punt `M` ligt buiten `/_APB` Geval 1) `DeltaPAM` is gelijkbenig, dus de hoeken `/_APM` en `/_PAM` zijn gelijk, zeg `x`. `DeltaPBM` is gelijkbenig, dus de hoeken `/_BPM` en `/_PBM` zijn gelijk, zeg `y`. De buitenhoek bij `M` van `DeltaPAM` is dus gelijk aan `2x` en de buitenhoek bij `M` van `DeltaPBM` is dus `2y`. Dus `/_AMB=2x+2y=2*/_APB` QED Bewijs zelf de twee andere gevallen. Dit betekent dus, dat alle omtrekshoeken die op een zelfde boog staan gelijk zijn. Omgekeerd: als twee punten `P` en `Q` aan dezelfde kant van lijn `AB` liggen, en `/_APB=/_AQB`, dan liggen de punten `A, B, P` en `Q` op één cirkel. Ofwel: vierhoek `ABPQ` is dan een KOORDENVIERHOEK. Kun je dat bewijzen?
Stelling van Thales: Als een omtrekshoek op een middellijn staat, dan is hij recht.
Omgekeerde stelling van Thales: Als een omtrekshoek recht is, dan staat hij op een middellijn.
Stelling: Als twee punten `P` en `Q` aan dezelfde kant van lijn `AB` liggen, en `/_APB=/_AQB`, dan is vierhoek `ABPQ` een koordenvierhoek.
Stelling: Als een vierhoek `ABCD` een koordenvierhoek is, dan geldt: `/_A+/_C=180^@` en ook `/_B+/_D=180^@`.
Stelling: Als in een vierhoek `ABCD` geldt: `/_A+/_C=180^@` , dan is dit een koordenvierhoek.
Nog een voorbeeld: Vierhoek `ABCD` is een koordenvierhoek waarbij `AC` een middellijn is van de omgeschreven cirkel. De loodrechte projecties van `A` en `C` op `BD` zijn de punten `E` en `F`. Bewijs dat a) `DeltaABE ~ DeltaACD` b) `DeltaBAC ~ DeltaFDC` c) `BE=DF` Begin met deel a). Gelijkvormigheid van driehoeken aantonen gebeurt vaak door het kenmerk hh te gebruiken: zoek twee paar gelijke hoeken. `DeltaABE` en `DeltaACD` hebben beide een rechte hoek! Van `DeltaABE` is dat direct duidelijk: `/_E` is recht. In `DeltaACD` zit de rechte hoek bij `D`. Waarom? Denk aan de stelling van Thales: omdat `AC` een middellijn van de cirkel is, geldt dat `/_D` een rechte hoek is. Kijk dan naar de hoeken `/_ABE` en `ACD`. Beide staan op dezelfde boog `AD`, dus zijn ze gelijk. Daarmee is a) bewezen. Kun je nu zelf b) bewijzen? Voor deel c) maak je gebruik van de gelijkvormigheid uit a) en b): dat betekent namelijk een aantal gelijke verhoudingen. Uit `DeltaABE ~ DeltaACD` volgt: `(BE)/(CD)=(AB)/(AC)` Uit `DeltaBAC ~ DeltaFDC` volgt: `(DF)/(AB)=(CD)/(AC)` dus ook `(DF)/(CD)=(AB)/(AC)` De rechterleden van beide verhoudingen zijn dus gelijk! Dus `(BE)/(CD)=(DF)/(CD)` dus `BE=DF`QED
In de rechterkolom hiernaast vind je een overzicht van meetkundige stellingen die je kunt gebruiken bij het oplossen. En alles wat je eenmaal bewezen hebt kun je weer gebruiken bij een volgende puzzel. Er staan hints bij die je op een spoor kunnen brengen, maar het is heel goed mogelijk dat een heel ander spoor ook tot de juiste oplossing leidt!
Omgeschreven cirkel en koordenvierhoek In `DeltaABC` is een lijnstuk `DE` evenwijdig aan `AB` getrokken, waarbij `D` op `AC` en `E` op `BC` ligt. `F` is een punt op lijnstuk `BC`. De omgeschreven cirkel van `DeltaDEF` snijdt `AC` ook in `G`. Bewijs: `ABFG` is een koordenvierhoek. Hint
Koordenvierhoek in een rechthoek Gegeven is een rechthoek `ABCD`. `E` is het midden van de zijde `CD` en `F` is het midden van de zijde `BC`. `DF` snijdt `AE` in punt `G`. `BE` snijdt `AF` en `DF` in de punten `H` en `N`. Bewijs: `AGNH` is een koordenvierhoek. Hint
Math4all Auteur: Anneke Grünefeld
Materiaal: Chris Wildhagen
Ik wil mij aanmelden voor:
