Kolmogorov

Kolmogorov (1903 - 1987) was één van de beroemdste Russische wiskundigen uit de vorige eeuw. Het grootste deel van zijn leven vond plaats in het communistische Rusland als onderdeel van de USSR (Unie van Socialistische Sovjet Republieken). Hij is vooral bekend geworden om zijn werk op het gebied van de waarschijnlijkheidsrekening, de topologie (vormleer), de grondbeginselen van de wiskunde en diverse toepassingen zoals stromingsleer en klassieke mechanica. Onder andere zorgde hij in 1933 als eerste voor een goed gefundeerde theorieopbouw van de kansrekening in zijn boek "Grondbegrippen der waarschijnlijkheidsrekening". En verder introduceerde hij op het International Congress of Mathematicians in 1954 in Amsterdam de zogenaamde KAM-theorie (genoemd naar Kolmogorov, Arnold en Moser) voor dynamische systemen.
Kolmogorov verwierf al tijdens zijn leven een reputatie als een groot wiskundige en kreeg diverse prijzen. Maar zijn interesse lag ook op andere terreinen, zoals het lesgeven aan begaafde kinderen en de gedichten van de grote Russische dichter Poesjkin.

» Meer over Kolmogorov
» De tijd van Kolmogorov
» Opbouw van de kansrekening

De tijd van Kolmogorov

Kolmogorov leefde het grootste deel van zijn leven in de toenmalige USSR, de Unie van Socialistische Sovjet Republieken, kortweg Sovjetunie. In 1917 werd in Rusland de tsaar afgezet in een bloedige revolutie (de Oktoberrevolutie) die uiteindelijk de communistische partij onder leiding van Vladimir Iljitsj Oeljanov (Lenin) aan de macht bracht. De bestaande elite (en met name de adelstand en de rijke hereboeren) werd vaak met grove middelen van zijn privileges ontdaan en de "arbeiders" kregen het voor het zeggen (in de praktijk de partijleden van de communistische partij).
Behalve Rusland (en Siberië, een deel van Rusland) hoorden ook landen als Oekraïne, Georgië, Oezbekistan, Toerkmenistan en nog andere bij de USSR. Vanaf 1928 tot 1953 was daarvan Stalin de feitelijke machthebber, met een harde repressie van mensen die niet in de Stalin-lijn dachten als gevolg.

Gedurende de Tweede Wereldoorlog hoorde de USSR bij de uiteindelijke overwinnaars en daarmee werden er nog diverse andere landen toegevoegd aan deze Unie (onder andere Estland, Letland en Litouwen). Na WO-II ontstond tussen de USSR en de overige overwinnaars een wederzijds wantrouwen dat leidde tot de Koude Oorlog en het IJzeren Gordijn dwars door Europa. In die Koude Oorlog stonden tientallen jaren lang de communistische landen (zoals USSR, China en hun vazalstaten) en de kapitalistische landen (V.S., Engeland, Frankrijk en de rest van West-Europa) tegenover elkaar zodat samenwerking ook op wetenschappelijk gebied nauwelijks mogelijk was.
In 1991 zou de USSR onder en door partijleider Gorbatsjov weer uiteen vallen in verschillende landen waarvan Rusland er één is. Op dit moment is Rusland een belangrijke grootmacht in de wereld, naast bijvoorbeeld de VS en China en Europa.

Op wiskundig gebied vond er in de eerste helft van de twintigste eeuw een heel andere "strijd" plaats. David Hilbert had in 1900 op het IMC (International Mathematical Congress) beschreven welke 23 wiskundige problemen voor de wiskundigen van die tijd actueel waren. Hij daagde daarmee de wiskundige wereld uit om die problemen in de wiskundige theorie in te bedden: het programma van Hilbert.
Tegelijkertijd ontstond binnen de wiskunde (mede onder invloed van de abstracte theorieopzet van de meetkunde door Hilbert) de gedachte dat een wiskundige theorie pas volledig zou zijn als hij was gestoeld op een klein aantal axioma's (onbewezen aannames) waarbij elke stelling door een formeel logisch bewijs uit deze axioma's kon worden afgeleid. De Nederlandse wiskundige L. E. J. Brouwer (1881 - 1966) moest echter weinig hebben van deze formalistische benadering en zette de ontwikkeling van een meer intuïtieve benadering (later intuïtionistische logica genoemd) in gang. Daarbij verwierp hij onder andere het "bewijs uit het ongerijmde" (gestoeld op het principe van de uitgesloten derde: iets is waar of niet waar een derde mogelijkheid is er niet). Brouwer accepteerde in feite alleen wiskundige objecten die geconstrueerd kunnen worden, geen objecten waarvan het niet-bestaan onmogelijk is.
Ook Kolmogorov schreef over het principe van de uitgesloten derde en de intuïtionistische logica.

Over Kolmogorov

Andrej Nikolajevitsj Kolmogorov werd op 25 april 1903 geboren in Tambov waar zijn moeder op doorreis terug naar huis verbleef. Zijn moeder stierf bij zijn geboorte en Kolmogorov werd opgevoed in het huis van zijn grootvader in de buurt van Jaroslavl, een stad die zo'n 250 km ten noordwesten van Moskou ligt. Zijn vader Nikolai Katajev was een landbouwkundig ingenieur die was verbannen uit Rusland. Na de Russische revolutie van 1917 keerde hij korte tijd terug als hoofd van een departement in het ministerie van landbouw, maar hij stierf in 1919. Kolmogorov kreeg de achternaam van zijn grootvader Jakov Stepanovitsj Kolmogorov die van adel was, hetgeen in de communistische USSR geen aanbeveling was. Er gaan ook verhalen dat deze grootvader actief was in het verzet tegen de communistische machthebbers.

In 1920 werd Kolmogorov toegelaten op de Staatsuniversiteit van Moskou waar hij aanvankelijk in diverse richtingen studeerde: metaalkunde, Russische geschiedenis en wiskunde. In die tijd schreef hij bijvoorbeeld een artikel over het landeigenaarschap in Novgorod in de 15e en 16e eeuw.

Op het gebied van de wiskunde kwam Kolmogorov al vanaf het begin van zijn studie in aanraking met bekende Russische wiskundigen in de Moskouse onderzoeksgroep die onder leiding stond van Nikolai Luzin en Dimitri Egorov. En nog terwijl hij studeerde kwam hij met originele bijdragen op het gebied van verzamelingenleer en functietheorie. In 1925 studeerde Kolmogorov af en in 1929 behaalde hij zijn doctoraat. Pavel Aleksandrov, die net als Kolmogorov onder Luzin studeerde, werd een vriend voor het leven waarmee hij diverse studiereizen maakte.

In 1925 schreef Kolmogorov een werk over de intuïtionistische logica en het principe van de uitgesloten derde. En in datzelfde jaar ontstond een eerste artikel over de kansrekening. In 1931 werd Kolmogorov hoogleraar aan de Moskouse Staatsuniversiteit.
In 1933 publiceerde hij zijn beroemdste werk "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" waarin hij de kansrekening vanuit een klein aantal axioma's opbouwde en de moderne notaties ontwikkelde.
Via Aleksandrov raakte Kolmogorov in 1936 betrokken bij een onfrisse aanval op Luzin, die onder het Stalin-regime werd beschuldigd van "contrarevolutionair gedrag". En hoewel Luzin niet uit de Academie voor de Wetenschappen van de USSR werd gezet, kreeg hij wel een veroordeling en werd hij nooit meer gerehabiliteerd.

In 1938/1939 werd door een aantal wiskundigen van de Universiteit van Moskou een samenwerking met de Academie voor de Wetenschappen van de USSR aangegaan. Aan het Steklov Instituut zetten zij een afdeling Kansrekening en Statistiek op met Kolmogorov aan het hoofd.
Later breidde hij zijn werk uit door te studeren op de wiskunde achter de planetenbewegingen en de stroming van lucht uit straalmotoren. In 1941 publiceerde Kolmogorov twee fundamentele artikelen over turbulente luchtstromen en in 1954 ontwikkelde hij samen met Arnold en Moser de zogenaamde KAM-theorie over dynamische systemen. Over deze theorie hield hij in dat jaar een toespraak voor het International Congress of Mathematicians in Amsterdam.

Kolmogorov trouwde in 1942 met Anna Egorova. Nog tijdens zijn leven won hij diverse prijzen op het gebied van de wiskunde en werd hij gekozen tot lid van diverse genootschappen waaronder de Academie voor de Wetenschappen van de USSR (1939), de Royal Society (1964), de National Academy of the US (1967), de Franse Académie des Sciences (1968).
Maar Kolmogorov's belangstelling reikte verder dan alleen de wiskunde: hij bemoeide zich bijvoorbeeld actief met het ontwikkelen van een opleiding voor begaafde kinderen zowel op het gebied van literatuur en muziek als op dat van de wiskunde en hij was geïnteresseerd in de gedichten van de Russische schrijver Poesjkin.

Opbouw van de kansrekening

De kansrekening werd in 1934 voor het eerst door Kolmogorov opgebouwd als een complete wiskundige theorie. Uitgangspunt daarbij is een verzameling $U$ en de deelverzamelingen $G_{i}$ daarvan. Hierin kan $U$ worden opgevat als de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een kansexperiment. Daarom heet $U$ de uitkomstenruimte. Een deelverzameling $G_{i}$ heet een gebeurtenis als daarbij een waarde $P (G_{i})$ hoort die de kans op gebeurtenis $G_{i}$ heet en voldoet aan de volgende axioma's:

$P (G_{i}) \geq 0$ (een kans is niet negatief)
$P (U) = 1$ (de kans op de totale uitkomstenruimte is $1$ )
Voor elk tweetal disjuncte (elkaar wederzijds uitsluitende) gebeurtenissen $G_{i}$ en $G_{j}$ geldt:
$P (G_{i} \cup G_{j}) = P (G_{i}) + P (G_{j})$ met $i \neq j$ .
(zijn $G_{i}$ en $G_{j}$ verschillende deelverzamelingen van $U$ zonder gemeenschappelijke elementen, dus $G_{i} \cap G_{j} = \emptyset$ , dan is de kans op $G_{i}$ of $G_{j}$ gelijk aan de som van de afzonderlijke kansen)

Uit deze drie axioma's wordt dan de basistheorie van de waarschijnlijkheidsrekening afgeleid. Merk vooral ook op dat deze opzet van de kansrekening geheel is gestoeld op de verzamenlingenleer (elke gebeurtenis is een deelverzameling van de uitkomstenruimte) en daarom gebruik maakt van de daarin gebruikte symbolen:

$A \cup B$ is de vereniging van twee verzamelingen $A$ en $B$ ,
$A \cap B$ is de doorsnede van twee verzamelingen $A$ en $B$ ,
$A \ B$ is de deelverzameling van $A$ die geen elementen van $B$ bevat,
$\emptyset$ is de lege verzameling (die geen elementen bevat).

Over hoe je een kans in een bepaald geval precies bepaalt gaan deze axioma's niet. Ze stellen alleen vast waaraan de manier van kansen bepalen moet voldoen. En over het hoe van het bepalen van kansen valt nog wel het nodige te zeggen: er bestaat bijvoorbeeld een klassieke definitie (kortweg iets als "aantal gunstige mogelijkheden" gedeeld door "totaal aantal mogelijkheden") en een statistische definitie (relatieve frequentie als kans) en er zijn nog meer varianten denkbaar (bijvoorbeeld als de kansruimte niet uit "losse mogelijkheden" bestaat, maar continu is).

Behalve deze drie axioma's zijn er nog diverse definities nodig, bijvoorbeeld

De complementaire gebeurtenis van gebeurtenis $A$ is $niet- A = U \ A$ .
De voorwaardelijke kans op gebeurtenis $B$ gegeven een andere gebeurtenis $A$ is $P (B | A) = P (A \cap B) / P (A)$ .
Twee gebeurtenissen heten onafhankelijk als $P (A | B) = P (A)$ (m.a.w. de kans op gebeurtenis $A$ wordt niet beïnvloed door gebeurtenis $B$ .

Met behulp van deze definities en de drie axioma's kunnen dan de bekende regels voor de kansrekening worden afgeleid zoals

de complementregel: $P (niet- A) = 1 - P (A)$ ;
de (algemene) somregel: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ ;
de (algemene) productregel: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A)$ en de productregel voor onafhankelijke gebeurtenissen: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

En daarna kun je kansvariabelen (stochasten) invoeren en het begrip kansverdeling uitdiepen, etc.

Math4all

Kolmogorov

De tijd van Kolmogorov

Over Kolmogorov

Opbouw van de kansrekening

Aanmelden