Eind van de vorige eeuw bedacht een groepje middelbare scholieren een compleet nieuw getallenstelsel. Het waren Inuït-leerlingen in Kaktovik, een plaats in het noorden van Alaska. Hun decimale getallen zien er totaal anders uit dan de gangbare en het rekenen ermee gaat ook heel anders. Maar het werkt visueel bijzonder fraai met het traditionele twintigtallige telsysteem van de Inuït. In dit artikel maak je kennis met de Kaktovik-getallen en zie je hoe ermee kan worden gerekend.
Tot in het begin van de jaren '90 van de vorige eeuw hadden de Inuït geen uitgeschreven getallensysteem. Tot de negen leerlingen van een school in Kaktovik zo'n systeem verzonnen. Het is gebaseerd op `20` verschillende symbolen, gegroepeerd in groepjes van `5`. Natuurlijk ligt zoiets erg voor de hand, want een mens heeft in principe vijf vingers aan elke hand en vijf tenen aan elke voet, `20` "uitsteeksels". In de figuur hiernaast zie je hoe de symbolen die ze verzonnen eruit zien. Ze zijn op duidelijke principes gebaseerd:
En, bekijk de figuur, dat is gelukt, of niet soms? William Clark Bartley, de leraar die meehielp om het telsysteem te bedenken vertelde: “The girl who gave us the symbol for `0`, she just crossed her arms above her head like there was nothing.” De groep leerlingen bedacht toen samen om zo'n symbool toe te voegen aan hun set "cijfers" van `1` tot en met `19`. En zo kwamen ze tot `20` Kaktovikcijfers. Deze cijfers bleken heel goed te passen in het mondelinge rekensysteem dat binnen de Inuït-gemeenschap gangbaar was.
Ik heb er zelf deze tekening van gemaakt voor gebruik op het web. Hierbij passen alle cijfers in eenzelfde blokje van `8` bij `12` mm.
Om ermee te rekenen moet je een twintigtallig rekensysteem gebruiken (met daarbinnen vier groepen van `5`). Dus je gebruikt een positiestelsel met machten van `20`. Ik gebruik voor de duidelijkheid kleuren voor de verschillende posities.
Dat betekent dat een getal als `32 = 20 + 12` wordt geschreven met het symbool voor `1` (als in `1` keer `20`) met het symbool voor `12` erachter:
`32` wordt in het kaktoviksysteem
Een getal als `613 = 1*20^2 + 10*20 + 13` wordt geschreven met de symbolen voor `1`, `10` en `13` in die volgorde:
`613` wordt in het kaktoviksysteem
Een getal als `860 = 2*20^2 + 3*20 + 0` wordt geschreven met de symbolen voor `2`, `3` en `0` in die volgorde:
`860` wordt in het kaktoviksysteem
Om een decimaal getal om te rekenen vaar het Kaktovik getallensysteem trek je er telkens veelvouden van machten van `20` van af. Gebruik daarbij de hoogste macht van `20` het eerst.
Om bijvoorbeeld `5923` om te rekenen naar het kaktoviksysteem bedenk je eerst dat het kleiner is dan `20^3 = 8000`, dus dat er eerst zoveel mogelijk veelvouden van `20^2` afgaan. Dat zijn er `14`, want `14*20^2 = 5600`. Blijft over `323`. Vervolgens bekijk je hoeveel veelvouden van `20` daar nog af kunnen, dat zijn er `16`. Blijft over `3`. `5923` wordt in het kaktoviksysteem
Andersom vanuit een getal in het kaktoviksysteem naar een decimaal getal omrekenen is natuurlijk gemakkelijk: je bekijkt van elk teken hoeveel machten van `20` er staan. Bij het getal zie je dat er staat: `14`, dan `16` en tenslotte `3`. Dat is decimaal dus `14*20^2 + 16*20 + 3 = 5923`. Een kind kan de was doen...
Het optellen van getallen in het kaktoviksysteem is heel erg visueel. Je moet dan letten op zaken zoals `4 + 1 = 5` ofwel: Je vervangt dus de stap van `4` naar `5` schuine streepjes in de verticale richting door één schuin streepje in de horizontale richting.
En zo is ook `9 + 1 = 10`: En `14 + 1 = 15`: En `19 + 1 = 20`: Deze laatste is het belangrijkste, want nu komt het éne streepje als resultaat een positie verder naar links, wordt het ineens een hogere macht van twintig: `19 + 1 = 20 = 1*20^1 + 0*20^0`.
Je gaat nu berekenen: `632 + 189`. Dat is in het kaktoviksysteem . In de figuur hiernaast kun je stap voor stap zien hoe in het kaktoviksysteem de berekening in zijn werk gaat. Merk op dat steeds wordt gebruikt. Het levert netjes op `632 + 189 = 821`, reken maar na.
In het voorbeeld hiernaast heb ik van links naar rechts gewerkt, maar dat hoeft niet. Van rechts naar links werken levert hetzelfde op, ga dit na. Verder moest er twee keer naar een hogere macht van `20` (een positie naar links) worden verplaatst. Ook dat komt uiteraard niet altijd voor. Ga maar na, dat bijvoorbeeld . Ofwel: `48 + 3 = 51`.
Ook het aftrekken van getallen in het kaktoviksysteem is heel erg visueel: gewoon streepjes verwijderen.
Je moet dan letten op zaken zoals `5 - 1 = 4` ofwel: Daarbij wordt `1` streepje in de horizontale richting door het `1` eraf halen `4` schuine streepjes in de verticale richting.
En zo is ook `10 - 1 = 9`: En `15 - 1 = 14`: En `20 - 1 = 19`: Deze laatste is het belangrijkste, want nu krijg je ineens een lagere macht van twintig: `20 - 1 = 19 = 19*20^0`. Je ziet ook dat soms eerst een twintigtal wordt verplaatst: .
Hiernaast zie je de aftrekking `632 - 189` uitgevoerd in het kaktoviksysteem.
Je hoeft daar nog niet gebruik te maken van "het verplaatsen van een twintigtal". In de aftrekking `512 - 58` hieronder gebeurt dit wel.
Kijk goed hoe een twintigtal van de tweede positie naar de derde positie wordt verplaatst. Ga na, dat het antwoord inderdaad `454` is geworden.
Bij het vermenigvuldigen in het kaktoviksysteem gebruik je deze basistabellen voor vermenigvuldigen.
Hiermee kun je alle vermenigvuldigingen maken. Neem eerst de cijfers, decimale getallen van `0` t/m `19`. Bijvoorbeeld `4 xx 16 = 64` kun je uitvoeren door `16` op te splitsen in `15` en `1`. Zo kan dat:
En `12 xx 19 = 228` kun je zo doen:
Zo kun je deze vermenigvuldigingstabel maken voor alle getallen die uit één cijfer bestaan in het kaktoviksysteem. Die vermenigvuldigingstabel is handig bij het uitvoeren van vermenigvuldigen die uit meerdere cijfers bestaan. Je kunt dan in de tabel meteen vinden welk product er bij twee cijfers hoort.
En hiermee kun je bijvoorbeeld `512 * 58` berekenen. Hiernaast zie je dat `512*58 = 29696`. In het kaktoviksysteem:
Het delen gaat in het kaktoviksysteem bijzonder visueel. Bij eenvoudige delingen van twee getallen die elk uit één cijfer bestaan, knip je het cijfer boven de deelstreep op in delen die dezelfde waarde/vorm hebben als het cijfer onder de breukstreep. Dit aantal is dan de uitkomst van de deling. Soms blijft er een rest over. Bekijk deze drie delingen maar eens:
`18/6 = 3` gaat zo:
`18/9 = 2` gaat zo:
`19/9 = 2` met rest `1` gaat zo:
Maar nu `29696 // 58 = 512`. Er is een serieuze staartdeling nodig om in het kaktoviksysteem te laten zien dat `58` echt `512` keer in `29696` past. (Dat dit zo is heb je hiervoor bij het vermenigvuldigen gezien.) Zo kun je zo'n staartdeling uitvoeren:
Je ziet dat dit nog best een klusje is in de meeste gevallen. Soms moet je een hele reeks symbolen van dezelfde kleur als het ware opvatten als één kaktovikcijfer. En ook moet je creatief gebruik maken van het verplaatsen van bijvoorbeeld één verticaal schuin streepje van het aantal `20^3`-tallen naar het aantal `20^2`-tallen, of van het aantal `20^2`-tallen naar het aantal `20`-tallen. Het is soms een heel geknutsel, maar wel heel erg visueel.
De meeste delingen zullen niet uit komen, je werkt dan met een rest. Maar misschien kun je met dit kaktoviksysteem ook wel kommagetallen maken. Achter de komma komen dan de `20^(text(-)1) = 1/20`-ste delen, dan de `20^(text(-)2) = 1/400`-ste delen, enzovoort. Dat is nog even doorbijten...
Om handig te kunnen rekenen kent de mensheid al sinds jaar en dag de abacus. Ook voor het werken met het kaktoviksysteem is een abacus bedacht. Hij ziet er zo uit:
Deze uitvoering is nogal logisch: de kralen boven de horizontale balk geven vijftallen aan, die onder de horizontale balk de eenheden. Dus hier is het getal `1` aangegeven. Voor het getal `8` moet je van het drietal witte kralen boven de balk er eentje (`1` vijftal) tegen de balk aanschuiven en van het vijftal witte kralen onder de balk moet je er `3` tegen de balk schuiven. Voor het getal `18` moet je van het drietal witte kralen boven de balk er drie (`3` vijftallen) tegen de balk aanschuiven en van het vijftal witte kralen onder de balk moet je er ook `3` tegen de balk schuiven. Zo kun je alleen met de witte kralen alle kaktovikgetallen van `0` t/m `19` (steeds één kaktoviksymbool) maken. Wil je getallen van meerdere cijfers maken, dan gebruik je van rechts naar links steeds een extra kleur kralen.
Het rekenen ermee gaat door kralen bij te schuiven of weg te schuiven. Optellen en aftrekken ligt nogal voor de hand, maar vermenigvuldigen en delen gaat ook.
Verder is het natuurlijk boeiend om te ontdekken hoe je kunt rekenen met "kommagetallen", getallen waarin ook `20`-ste delen, `20^2`-ste delen achter de komma voorkomen. Kun je bijvoorbeeld `123,45` omzetten naar het kaktoviksysteem? En hoe ga je daar dan mee rekenen? En hoe zit het met machten en wortels, kun je daar iets mee?
Kortom: nog veel om op te puzzelen... Veel plezier daarmee en deel je bevindingen met math4all.
Math4all
Links naar andere sites over dit onderwerp:
» De Inuït » The Iñupiat (Engelstalig) » Kaktovik numerals (Engelstalig) » Artikel John Carlos Baez (Engelstalig) » Artikel in Scientific American (Engelstalig) » Videoclip over Kaktovikgetallen (Engelstalig)
» Presentation about Kaktovik numbers (Engelstalig)
Ik wil mij aanmelden voor:
