Julia

De tijd van Julia

Julia werd geboren in Sidi Bel Abbes in de toenmalige Franse kolonie Algerije. Hij werd opgeroepen voor het Franse leger in de Eerste Wereldoorlog. De Fransen en de Engelsen vochten daarbij tegen Duitsland - dat een grootmacht in Europa probeerden te worden ten koste van de Fransen en de Engelsen - en Oostenrijk/Hongarije dat streed tegen de Serven (die werden gesteund door de Russen) en dat door Duitsland werd geholpen.
Omdat ook in de koloniën van de diverse landen oorlogshandelingen plaatsvonden, was een groot deel van de wereld bij deze oorlog betrokken.

 

In West-Europa verzandde deze oorlog in een uiterst moorddadige loopgravenoorlog in Noord-Frankrijk waarin ook 'verfijnde snufjes' als chemische wapens (zenuwgas) en tanks voor het eerst daadwerkelijk werden ingezet. In 1918 waren de Duitsers weliswaar niet verslagen maar wel moreel voldoende kapot en zodanig aan het einde van hun voorraden, dat ze een voor hen uiterst onvoordelige vrede tekenden. Deze vrede leidde mede ook weer tot de Tweede Wereldoorlog.

 

 

 

Over Julia

Gaston Maurice Julia werd geboren op 3 februari 1893 in Sidi Bel Abbes in Algerije (een toenmalige kolonie van Frankrijk). Over zijn jeugd is weinig bekend. Hij was soldaat in het Franse leger in de Eerste Wereldoorlog (1914 - 1918). Daarbij nam hij deel aan de verdediging tegen een aanval van het Duitse leger (ter ere van de verjaardag van de Kaiser Wilhelm II) op het Franse front. Daarbij raakte Julia ernstig gewond en verloor zijn neus waardoor hij geruime tijd moest doorbrengen in ziekenhuizen om pijnlijke operaties te ondergaan. De rest van zijn leven droeg hij een leren kapje voor het gat in zijn gezicht waar zijn neus heeft gezeten.

 

Tussen de operaties door deed hij zijn wiskundige onderzoekingen die in 1918 uitmondden in het 199 pagina's tellende artikel "Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles", gepubliceerd in het Journal de Math. Pure et Appl. 8. Dit artikel maakte hem beroemd in de toenmalige wiskundige wereld. Het ging over de iteratie (herhaalde opeenvolgende toepassing) van rationale functies van complexe getallen. Dit artikel legde de grondslag voor de theorie van de fractalen die later door Mandelbrot verder zou worden opgebouwd. Julia kreeg er de Grand Prix de l'Académie des Sciences voor.
Later werd hij professor aan de École Polytechnique in Parijs.

 

In 1925 werden er nog lezingen georganiseerd rond het werk van Julia, waarbij ook eerste pogingen werden gedaan om zijn verzamelingen in figuren zichtbaar te maken. Later echter raakte het artikel van Julia in de vergetelheid, tot omstreeks 1970 Mandelbrot erin slaagde om er bijzonder fraaie fractalen mee te maken, die dan ook Julia-fractalen heten.

Julia overleed op 19 maart 1978.

 

 

 

De eerste stappen op het gebied van fractalen

Van Julia is maar één werk bekend: het artikel "Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles" in het Journal de Math. Pure et Appl. 8, pagina's 47-245. Daarin definieerde hij o.a. de "Julia-verzameling". Figuren komen in het artikel nauwelijks voor, pas sinds 1970 is de Julia-verzameling als voorbeeld van een fractaal (of fractal) bekend en dus in beeld te brengen.

 

Om te begrijpen wat de Julia-verzameling is, moet je iets weten van complexe getallen.
Een complex getal is een getal van de vorm $z=x+iy$ waarin $i$ de wortel uit $-1$ is. (Eigenlijk is `i` het getal waarvoor geldt `i^2 = text(-)1`.) Zo'n complex getal kun je je voorstellen door een vector $\left(x,y\right)$ in een $Oxy$-assenstelsel.
Julia (samen zijn collega Pierre Joseph Louis Fatou (1878 - 1929)) werkten o.a. met kwadraten van $z$ :
$z^2={\left(x+iy\right)}^2=x^2-y^2+2ixy$
Vervolgens gingen ze een iteratief (zichzelf herhalend) proces uitvoeren. Ze begonnen met een complex getal $z_0$, berekenden het kwadraat ervan en telden er een vast complex getal $c=a+ib$ bij op. Zo kregen ze $z_1$. Vervolgens deden ze met $z_0$ hetzelfde; ze kregen $z_2$. En zo eindeloos door. Elke stap kun je beschrijven met de afbeelding:
$z_n=z_{n-1}^2+c$
Met vectoren ziet die afbeelding er zo uit:

 

$x_n=x_{n-1}^2-y_{n-1}^2+a$ en $y_n=2i{x}_{n-1}^{}{y}_{n-1}^{}+b$

 

Als je zo'n proces gaat uitvoeren zijn er deze mogelijkheden:

• $z_n$ komt steeds dichter bij een bepaald complex getal (de "aantrekker" of "attractor") uit, de rij convergeert;
• de lengte van $z_n$ wordt steeds groter en gaat naar oneindig, de rij divergeert.

 

Wat er daadwerkelijk gebeurt, hangt af van de keuze van $z_0$. Het gehele vlak wordt dus als het ware in drie delen verdeeld:

1. de verzameling punten $z_0$ waarvoor de rij een aantrekker heeft;
2. de verzameling punten $z_0$ waarvoor de rij divergeert;
3. de verzameling punten $z_0$ die de grens tussen beide voorgaande gevallen aangeeft.

Deze laatste verzameling punten is de Julia-verzameling $J\left(a,b\right)$ die afhangt van de keuze van $c=a+ib$.

 

Julia en Fatou bestudeerden de vorm van de Julia-verzameling afhankelijk van de keuze van $a$ en $b$. Het tekenen ervan bleek echter ondoenlijk vanwege de gigantische hoeveelheid (saaie) berekeningen die ervoor nodig zijn. In het geval dat $c=0$ is de Juliaverzameling $J\left(\mathrm{0,0}\right)$ een cirkel met een straal van $1$ om de oorsprong van het assenstelsel. Maar als $c$ een ander complex getal is, krijg je grillige structuren die tegenwoordig fractalen worden genoemd.

 

In het artikel bewees Julia diverse stellingen over de verzameling $J\left(a,b\right)$. Bijvoorbeeld:

• de Julia-verzameling blijft bij de afbeelding van $\left(x,y\right)$ naar $\left(x^2-y^2+a,2ixy+b\right)$ onveranderd;
• als een punt $z_0$ bij de Julia-verzameling hoort, dan geldt dit ook voor alle punten van de erbij horende rij $z_n$ ;
• de Julia-verzameling is ofwel samenhangend (bestaat uit één geheel) ofwel bestaat uit allemaal losse punten (Fatou-stof).

Pas Mandelbrot ontdekte dat de Julia-verzameling vrijwel altijd een fractaal is en kon met de computer de figuren tekenen die in Julia's tijd nog niet mogelijk waren. Hier zie je een voorbeeld van een Julia-fractal.

 

Fractalen zelf maken?
Download dan een programma om dit te doen, zie boven aan deze pagina.

 

 

 

---

Math4all